[論文レビュー] Algorithms, Reductions and Equivalences for Small Weight Variants of All-Pairs Shortest Paths

Timothy M. Chan, Virginia Vassilevska Williams+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有向無重みグラフにおける全点対最短経路（APSP）と、小規模な整数重みを含む複数の変種（cRed-APSP、#≤cAPSP、加法的誤差付き近似APSP、全点軽量最短経路）の間で、細粒度的な同値性を確立している。これらの問題は還元を介して計算的に同等であることが示され、有向無重みグラフにおけるAPSPの高速化には、長方形Min-Plus積の計算におけるブレークスルーが不可欠であることが示された。また、#APSP や Betweenness Centrality を含む複数の変種について、新たな近最適なアルゴリズムが提示され、#APSP に対しては ˜O(n³) 時間のアルゴリズムが得られた。

ABSTRACT

APSP with small integer weights in undirected graphs [Seidel'95, Galil and Margalit'97] has an $ ilde{O}(n^ω)$ time algorithm, where $ω<2.373$ is the matrix multiplication exponent. APSP in directed graphs with small weights however, has a much slower running time that would be $Ω(n^{2.5})$ even if $ω=2$ [Zwick'02]. To understand this $n^{2.5}$ bottleneck, we build a web of reductions around directed unweighted APSP. We show that it is fine-grained equivalent to computing a rectangular Min-Plus product for matrices with integer entries; the dimensions and entry size of the matrices depend on the value of $ω$. As a consequence, we establish an equivalence between APSP in directed unweighted graphs, APSP in directed graphs with small $( ilde{O}(1))$ integer weights, All-Pairs Longest Paths in DAGs with small weights, approximate APSP with additive error $c$ in directed graphs with small weights, for $c\le ilde{O}(1)$ and several other graph problems. We also provide fine-grained reductions from directed unweighted APSP to All-Pairs Shortest Lightest Paths (APSLP) in undirected graphs with $\{0,1\}$ weights and $\#_{ ext{mod}\ c}$APSP in directed unweighted graphs (computing counts mod $c$). We complement our hardness results with new algorithms. We improve the known algorithms for APSLP in directed graphs with small integer weights and for approximate APSP with sublinear additive error in directed unweighted graphs. Our algorithm for approximate APSP with sublinear additive error is optimal, when viewed as a reduction to Min-Plus product. We also give new algorithms for variants of #APSP in unweighted graphs, as well as a near-optimal $ ilde{O}(n^3)$-time algorithm for the original #APSP problem in unweighted graphs. Our techniques also lead to a simpler alternative for the original APSP problem in undirected graphs with small integer weights.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおける小スケール整数重みAPSPの本質的計算困難性を理解すること、特に持続的な n².⁵ ボトルネックの原因を特定すること。
• 有向無重みAPSPと、小スケール重みまたは構造的制約を含む複数の変種との間で、細粒度還元を確立すること。
• 近似APSP（部分線形加法的誤差付き）や無重みグラフにおける#APSP といった重要な変種の改善アルゴリズムを開発すること。
• 現在の有向無重みグラフにおけるAPSP実行時間の向上がなければ、いくつかの関連問題が Ω(n².⁵²⁸) 時間を要することを示すこと。
• #APSP および Betweenness Centrality に対して、近最適な ˜O(n³)-time アルゴリズムを提供し、従来の ˜O(n⁴) 界より改善すること。

提案手法

• 有向無重みAPSPから長方形Min-Plus積問題 M⋆(n, nρ, n | n¹⁻ᵣho) への細粒度還元を確立し、部分多項式時間の改善の下で同値性を示した。
• 頂点集合 Rℓ における再帰的分解と動的計画法を用いて、制限付きエントリを持つ行列のMin-Plus積を通じて最短経路を計算した。
• ワitness回復技術を適用し、Min-Plus積計算から実際の最短経路を再構築した。
• Min-Plus積への還元により、部分線形加法的誤差付き近似APSPのための新アルゴリズムを開発し、このモデルにおいて最適性を達成した。
• #APSP に対して、数え上げと行列積技術を組み合わせることで、無重みグラフにおける ˜O(n³)-time アルゴリズムを構築した。
• 結果を重みが概ね対称的な有向グラフへと拡張し、s-近似対称性において ˜O(c₀s nω) 時間を達成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向APSPの Ω(n².⁵) 実行時間ボトルネックは、本質的な複雑性に起因するものか、それとも新たなアルゴリズム的知見によって克服可能か？
• RQ2 cRed-APSP、#≤cAPSP、加法的誤差付き近似APSP といった変種が、細粒度還元の下で有向無重みAPSPと計算的に同等であるか？
• RQ3 現在の有向無重みグラフにおけるAPSPの n².⁵²⁸ という下界を、還元によって他の問題へと拡張可能か？
• RQ4 #APSP の最適時間計算量は何か？また、経路数が指数的に増加する場合でも ˜O(n³) 時間で達成可能か？
• RQ5 既知の ˜O(nω) アルゴリズムが無向APSPに適用可能であるが、この新しい枠組みを用いて、それを簡略化または再導出可能か？

主な発見

• 有向無重みAPSPは、M⋆(n, nρ, n | n¹⁻ᵣho) の計算と細粒度的に同等であり、ここで ρ は ω(1, ρ, 1) = 1 + 2ρ を満たす。これにより、長方形Min-Plus積と強い結びつきが確立された。
• 現在の有向無重みAPSPの O(n².⁵²⁹) 実行時間の向上がなければ、{0,1}-重みをもつ無向グラフにおけるAPSLP や、無重み有向グラフにおける #mod cAPSP など、複数の問題が Ω(n².⁵²⁸) 時間を要する。
• 経路数が指数的に増加する場合でさえ、無重みグラフにおける#APSP に対して、最適な ˜O(n³)-time アルゴリズムが提示された。これは従来の ˜O(n⁴) 界より改善された。
• 同じアルゴリズムにより、Betweenness Centrality に対しても ˜O(n³)-time 解法が得られ、従来の ˜O(n⁴) 実行時間より改善された。
• 部分線形加法的誤差付き近似APSP に対して、Min-Plus積への還元に基づく ˜O(n³)-time 新アルゴリズムが提示され、このモデルにおいて最適性を達成した。
• 小スケール整数重みをもつ無向APSP に対して、ShoshanとZwickのアルゴリズムのより単純な代替案が、新フレームワークを用いて提供された。