[論文レビュー] Algorithms to solve coupled systems of differential equations in terms of power series

Jakob Ablinger, Arnd Behring+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、特に質量のある3ループフェยnマン積分に生じる微分方程式の結合系を解くための2つの高度なアルゴリズム的戦略を提示する。べき級数展開と記号的総和技法を活用することで、ハイパージオメトリック積の重ね合わせとしての係数を効率的に計算し、再帰の次数を低くする新戦略により、初期値の高価な要件による計算のボトル neck を最小限に抑える。

ABSTRACT

Using integration by parts relations, Feynman integrals can be represented in terms of coupled systems of differential equations. In the following we suppose that the unknown Feynman integrals can be given in power series representations, and that sufficiently many initial values of the integrals are given. Then there exist algorithms that decide constructively if the coefficients of their power series representations can be given within the class of nested sums over hypergeometric products. In this article we will work out the calculation steps that solve this problem. First, we will present a successful tactic that has been applied recently to challenging problems coming from massive 3-loop Feynman integrals. Here our main tool is to solve scalar linear recurrences within the class of nested sums over hypergeometric products. Second, we will present a new variation of this tactic which relies on more involved summation technologies but succeeds in reducing the problem to solve scalar recurrences with lower recurrence orders. The article will work out the different challenges of this new tactic and demonstrates how they can be treated efficiently with our existing summation technologies.

研究の動機と目的

• 3ループフェイマン積分に起因する結合微分方程式系を解く際の計算上のボトル neck を解消すること、特に初期値の計算が非現実的となる場合を想定する。
• 結合されていない系から導かれるスカラー再帰の再帰次数を低減する新しいアルゴリズム的戦略を開発することにより、必要な初期値の数を減らす。
• 高次の再帰次数やメモリ集約的な結合解除ステップを扱う際、既存のツール（Sigma や SolveCoupledSystem）に見られる制限を克服すること。
• 解がハイパージオメトリック積の重ね合わせとしての重ね合わせ和で表現可能かどうかをアルゴリズム的に決定できることを可能とすること、特に調和的および巡回的和を含む。
• 1階還元可能性の系統的枠組みを提供し、反復的でない解法が必要となる系を特定すること。

提案手法

• Zürcherの手法を実装したOreSysを用いて、結合微分方程式系を結合解除アルゴリズムによりスカラー再帰に変換する。
• SolveCoupledSystemパッケージ内での記号的総和ツール（Sigma および SumProduction）を用い、ハイパージオメトリック積の重ね合わせとしてのスカラー再帰を重ね合わせ和の形で解く。
• 微分作用素のGCDで割ることで再帰次数を低減する新戦略を実装し、必要な初期値の数を顕著に削減する。
• 上界Aを制御可能な範囲に制限した無限和の切り捨てを用い、重ね合わせ和の間の代数的依存関係を排除し、異方的項（alien terms）が消えるようにする。
• 「悪い分母」（例：a≠0,±1の1−ax）を有する項のみをフィルタリングし、代数的関係に起因する問題を抱える部分式を処理する高度な単純化技術を適用する。
• 問題のある和を排除した後、A→∞の極限を計算することで、代数的に独立な重ね合わせ和と管理可能な複雑性を持つ簡略化された式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3ループフェイマン積分に由来する結合微分方程式系は、ハイパージオメトリック積の重ね合わせとしての重ね合わせ和の形でアルゴリズム的に解けるか？
• RQ2 結合されていない系から導かれるスカラー再帰において、再帰次数をどのように低減すれば必要な初期値の数を最小限にできるか？
• RQ3 超越的または代数的パラメータが存在する状況下で、重ね合わせ和の間の代数的依存関係を効果的に排除する記号的総和技法は何か？
• RQ4 非整数または複素数の極に起因する異方的項（不要な寄与）がべき級数解においてどのような条件下で消えるか？
• RQ5 高次再帰に対して、既存の手法と比較して、メモリ使用量と計算時間の両面で新アルゴリズムのアプローチが優れているか？

主な発見

• 新戦略により、微分作用素のGCDで割ることで再帰次数が顕著に低減され、標準的手法と比較して著しく低い再帰次数が達成された。
• すべてのテスト例において、代数的単純化の後、すべての「悪い分母」（例：a≠0,±1の1−ax）を有する重ね合わせ和が消失し、異方的項の寄与が完全に排除された。
• 最終表現における重ね合わせ和の数は管理可能な水準にまで削減され、残存するすべての和は代数的に独立であったため、効率的な記号的計算が可能となった。
• 従来のツールでは再帰次数が高いため（例：16以上）、初期値の計算が非現実的であった系に対しても、本手法により解が可能となった。
• SolveCoupledSystemに統合されたアルゴリズムパイプラインは、被加数に最大1000個の重ね合わせ和を含む系を効果的に処理でき、スケーラビリティを示した。
• 本手法により、1階還元可能性のアルゴリズム的決定が可能となり、反復的でない解法が必要となる系を特定できるようになった。