[論文レビュー] All $(96,20,4)$ difference sets and related structures

Omar A. AbuGhneim, Peifer, Dylan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

graph theory and CDMA systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、96階の群のうち、差集合を許容する94個の群のうち残りの19個の群に対して、GAPソフトウェアと先行する理論的結果を用いて、(96,20,4)差集合を体系的に計算することで、すべての(96,20,4)差集合の分類を完了した。著者らは、2,627個の同値でない差集合を特定し、それらから583個の同型でない対称的(96,20,4)設計を生成した—そのうち563個は真正に非アーベル的であり、アーベル群の鋭く推移的な自己同型群をもたない—さらに、すべての(96,20,4,4)および(96,19,2,4)部分差集合を構成し、それぞれ58個および12個の同型でない強正則グラフが得られた。

ABSTRACT

In 1978, Robert Kibler at the National Security Agency in Fort Meade, Maryland published a description of all noncyclic difference sets with $k < 20$. Kibler's decision to stop his extensive computer search for difference sets at block size 19 was motivated partly by the difficult barrier at $k=20$, the difference sets with parameters $(96,20,4)$. In this paper, we announce the completion of the search for all $(96,20,4)$ difference sets, relying on the computer software GAP and the work of numerous authors over the last few decades. The difference sets and the symmetric designs they create are summarized and links are provided to webpages which explicitly list the difference sets. In addition, we use these $(96,20,4)$ difference sets to construct all $(96, 20, 4, 4)$ and $(96, 19, 2, 4)$ partial difference sets and briefly look at the corresponding strongly regular graphs.

研究の動機と目的

• 96階の群におけるすべての(96,20,4)差集合の列挙を完了し、k=20における長年の未解決問題を解消すること。
• 未解決であった19の群において、同値でない差集合の完全な集合とそれに対応する対称的2-設計を特定すること。
• 完全な(96,20,4)差集合の集合から、すべての(96,20,4,4)および(96,19,2,4)部分差集合を構成すること。
• これらの部分差集合から生じる関連する強正則グラフを同型の観点から分類すること。
• どの対称的設計が真正に非アーベル的であるか、すなわちアーベル群の鋭く推移的な自己同型群をもたないかを特定すること。

提案手法

• 96階の群のうち、(96,20,4)差集合を許容する94の群に対して、GAPソフトウェアパッケージを用いて体系的に(96,20,4)差集合を探索した。特に、以前に解決されていなかった19の群に焦点を当てた。
• マクファーランドおよびアラス・セーガルの構成法から得られる理論的結果を応用し、特にアーベルおよび非アーベルの場合の探索を支援・検証した。
• 群環方程式、特に$\hat{D}\hat{D}^{(-1)} = (k-\lambda)1_G + \lambda\hat{G}$を用いて、差集合の性質を計算的に検証した。
• 群の自己同型および内部自己同型による同値性削減を用い、同値な集合を複数回数えるのを回避した。
• 既知の組合せ的写像を用いて、差集合から部分差集合を構成した。特に(96,20,4,4)および(96,19,2,4)のパラメータに注目した。
• グラフ同型性ツールを用いて部分差集合から強正則グラフを生成・分類し、同型でない代表元が正しく特定されたことを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 96階の群のすべての群において、同値でない(96,20,4)差集合はいくつ存在するか？
• RQ2 これらの差集合から生成される同型でない対称的(96,20,4)2-設計はいくつであり、そのうち真正に非アーベル的であるものはいくつか？
• RQ3 完全な(96,20,4)差集合の集合から導かれる(96,20,4,4)および(96,19,2,4)部分差集合の完全な集合は何か？
• RQ4 これらの構成から生じる同型でない強正則グラフ（パラメータが(96,20,4,4)および(96,19,2,4)）はそれぞれいくつか？
• RQ5 どの対称的設計がアーベル群から構成できないか。これはその自己同型構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、(96,20,4)差集合の分類を完了し、96階の94の群全体にわたって合計2,627個の同値でない差集合を特定した。
• これらの差集合は、583個の同型でない対称的(96,20,4)2-設計を生成した。そのうち563個は真正に非アーベル的であり、アーベル群の作用によっては実現不可能である。
• 著者らは、完全な(96,20,4)差集合の集合から、すべての58個の同型でない(96,20,4,4)部分差集合とすべての12個の同型でない(96,19,2,4)部分差集合を構成した。
• パラメータ(96,20,4,4)のすべての58個の強正則グラフと、パラメータ(96,19,2,4)のすべての12個の強正則グラフが、すべて非アーベル群から生じることが判明した。
• 以前に未解決だった19の群が、637個の差集合を提供し、全列挙の完了と2,627個の同値でない差集合の総数の確認に不可欠であった。
• 本研究では、137の差集合を許容しない群には(96,20,4)差集合が存在しないことが確認され、アーベル群から導かれる20の設計は、全583個の対称的設計のうちわずかな部分に過ぎないことが判明した。