[論文レビュー] All bipartitions of arbitrary Dicke states

George Moreno, Fernando Parisio|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Quantum Information and Cryptography被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Dicke状態の置換対称性を用いて、任意のDicke状態のすべての可能な二部分割におけるシュミット分解の閉形式解析的表現を導出する。すべてのこのような分割における量子もつれエントロピーを計算し、W状態が量子ビット数の増加に対しても一定のもつれを維持することを明らかにする。一方、多粒子もつれの可能性は $ n^{-1/2} $ の速度で減少する。さらに、一連のもつれ見分け子を導入し、ランダム誤差と系統的誤差の間のトレードオフを示す。

ABSTRACT

By exploiting the permutation symmetry of Dick states, we derive closed analytical expressions of Schmidt decompositions for {\it all} possible bipartitions of a system described by this kind of state. This allows us to exhaustively compute the entropy of entanglement of the bipartitions and, thus, compare the their entanglement extent. We also address the multipartite character of Dicke states by calculating the purity of balanced bipartitions to determine the potential of multipartite entanglement (the average purity). In particular, we found that the entanglement of $W$ states remains constant as the number of qubits is increased. As a final application we define a family of multipartite entanglement witnesses and compute their resistance against random and systematic imperfections. It is shown that in some circumstances, for a fixed white noise fraction, the entanglement becomes detectable only if one {\it increases} the amount of systematic imperfection in the state.

研究の動機と目的

• 置換対称性を活用して、任意のDicke状態のすべての可能な二部分割のもつれ構造を体系的に分析すること。
• すべての二部分割におけるもつれエントロピーを計算し、それらのもつれの程度を比較すること。
• バランスの取れた二部分割からの縮約密度行列の平均純度を用いて、多粒子もつれの可能性を定量化すること。
• 実験的ノイズに対する耐性を評価するため、一連のもつれ見分け子を設計・評価すること。

提案手法

• Dicke状態の置換対称性を活用し、任意のDicke状態を1量子ビットと残りの $(n-1)$ 量子ビットの状態の重ね合わせとして表す再帰的分解を導出する。
• 再帰的構造により、任意の $(1|n-1)$ 二部分割におけるシュミット分解が得られ、縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピーを直接計算することでもつれエントロピーが計算可能になる。
• 有限帰納法による組合せ的恒等式の証明を通じて、この手法を任意の二部分割へ一般化し、すべての $\binom{n}{k}$-対称分割を解析的に取り扱えるようにする。
• バランスの取れた二部分割からの縮約密度行列の平均純度を用いて、多粒子もつれの可能性を定量化する。
• 状態の対称性に基づいてもつれ見分け子の族を構築し、ホワイトノイズおよび系統的誤差に対する耐性を測定する。
• 数値的および解析的分析により、非単調な検出閾値が判明：固定されたホワイトノイズに対しては、検出可能性を回復させるために系統的誤差を増加させる必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のDicke状態 $|D_n^{(k)}\rangle$ のすべての可能な二部分割におけるもつれエントロピーは何か？ そして、系のサイズや励起数に応じてどのように変化するか？
• RQ2 W状態（$k=1$）のもつれは、量子ビット数の増加に対しても一定のまま保たれるか？ 他のDicke状態と比較するとどうなるか？
• RQ3 バランスの取れた二部分割からの平均純度で測定される多粒子もつれの可能性は、量子ビット数に従ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 もつれ見分け子を用いたもつれ検出において、ランダム誤差と系統的誤差の間にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ5 提案されたもつれ見分け子は実験的に実現可能か？ また、現実のノイズモデル下でどれほど頑健か？

主な発見

• Dicke状態 $|D_n^{(k)}\rangle$ の $(1|n-1)$ 二部分割のもつれエントロピーは、$ S(n,k,1) = -\left(\frac{n-k}{n}\right)\log\left(\frac{n-k}{n}\right) - \left(\frac{k}{n}\right)\log\left(\frac{k}{n}\right) $ で与えられ、$n$ が偶数のとき $k = n/2$ で最大値をとる。
• W状態（$k=1$）のもつれエントロピーは、$S(n,1,1) = -\frac{n-1}{n}\log\left(\frac{n-1}{n}\right)$ として一定であり、$n \to \infty$ のとき1 ebitに近づくため、持続的な二部もつれが示唆される。
• バランスの取れた二部分割からの平均純度で測定される多粒子もつれの可能性は、$n$ が大きいとき $n^{-1/2}$ の速度で減少する。これは代数的最小値 $2^{-n/2}$ よりも顕著に高い。
• 特にBourennaneら（2004）の形式に類似した、実験的実装に特に適したもつれ見分け子の族が構築された。
• 予期しないトレードオフが発見された：固定されたホワイトノイズ割合に対しては、もつれが再び検出可能になるのは系統的誤差を増加させたときのみであり、これは非単調な耐性を示している。
• すべての二部分割におけるシュミット分解の解析的導出は、一般化された分解恒等式の有限帰納法による証明を通じて達成され、Dicke状態の再帰的構造が裏付けられた。