[論文レビュー] All-order existence of and recursion relations for the operator product expansion in Yang-Mills theory

Markus B. Fröb, Jan Holland|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 58被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Yang-Mills理論における演算子積展開（OPE）のすべての摂動的次数における存在を確立し、再帰的関係を通じてOPE係数を一貫して定義できることを示している。OPE係数の結合定数 $ g $ による微分が閉じた方程式系を満たすことが示され、摂動論的すべての次数における体系的な計算が可能になる。

ABSTRACT

We prove the existence of the operator product expansion (OPE) in Euclidean Yang-Mills theories as a short-distance expansion, to all orders in perturbation theory. We furthermore show that the Ward identities of the underlying gauge theory are reflected in the OPE; especially, the OPE of an arbitrary number of gauge-invariant composite operators only involves gauge-invariant composite operators. Moreover, we derive recursion relations which allow to construct the OPE coefficients, the quantum BRST differential and the quantum antibracket order by order in perturbation theory, starting from the known free-theory objects. These relations are completely finite from the start, and do not need any further renormalisation as is usually the case in other approaches. Our results underline the importance of the OPE as a general structure underlying quantum field theories. The proofs are obtained within the framework of the Wilson-Wegner-Polchinski-Wetterich renormalisation group flow equations, and generalise similar results recently obtained for scalar field theories [J. Holland and S. Hollands, Commun. Math. Phys. 336 (2015) 1555; J. Holland and S. Hollands, J. Math. Phys. 56 (2015) 122303]. Combining their results with our recursion formula, we also obtain associativity of the OPE coefficients.

研究の動機と目的

• Yang-Mills理論における演算子積展開（OPE）がすべての摂動的次数にわたって存在することを確立すること。
• 結合定数 $ g $ のすべての次数にわたるOPE係数を一貫して定義するという課題を解決すること。
• OPE係数の結合定数 $ g $ による微分のための閉じた再帰的関係式系を導出すること。
• 各次数でOPEが正しく定義されかつ有限のまま保たれるように、重正則化条件を選び得ることを保証すること。
• 高次計算を明示的に行わずに、低次のデータとその $ g $-微分のみを用いてOPE係数を再帰的に計算するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 質量ゼロで、表面的重正則性を持つ量子場理論の一般枠組みを用いて、Yang-Mills理論におけるOPEを定式化する。
• 結合定数 $ g $ によるOPE係数の微分をとることで、OPE係数のための微分方程式系を導出する。
• OPE係数の不確かさを固定し、次数を越えて一貫性を保つために、重正則化条件を課す。
• 重正則化群の構造とゲージ不変性を用いて、$ g $-微分のための方程式系を閉じる。
• 摂動的場の理論的手法を適用し、再帰的関係式が次数ごとに解けることを示す。
• 再帰的関係式が閉じており、有限であることを示し、OPE係数の反復的計算が可能になることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yang-Mills理論における演算子積展開（OPE）は、すべての摂動的次数にわたって一貫して定義可能か？
• RQ2 結合定数 $ g $ による微分をとったとき、OPE係数は閉じた方程式系を満たすか？
• RQ3 各次数でOPEが有限かつ正しく定義されるように、重正則化条件を選び得るか？
• RQ4 低次のデータとその $ g $-微分のみを用いて、OPE係数を再帰的に計算することが可能か？
• RQ5 ゲージ不変性と重正則化群の構造は、すべての次数におけるOPEの一貫性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な重正則化条件のもとで、Yang-Mills理論における演算子積展開（OPE）はすべての摂動的次数にわたって存在する。
• 結合定数 $ g $ によるOPE係数の微分は、閉じた微分方程式系を満たす。
• これらの方程式により、高次ループ計算を明示的に必要とせずに、OPE係数を次数ごとに再帰的に計算できる。
• この系は有限かつゲージ不変性を満たしており、摂動論的すべての次数にわたる一貫性を保証する。
• 低次のデータが与えられれば、任意の固定次数までOPE係数を体系的に構成できるフレームワークが得られる。
• 結果として、OPEが先期的次数に限らず、明確な再帰的構造を介してすべての次数にまで拡張可能であることが確認された。