[論文レビュー] All orders structure and efficient computation of linearly reducible elliptic Feynman integrals

Martijn Hidding, Francesco Moriello|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Cryptography and Residue Arithmetic被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、次元的正則化パrameter 𝜖における任意の次数まで体系的に解ける線形還元可能な楕円型フェニマン積分を導入する。この積分は、内側の多ログ関数的被積分関数（IPP）を1次元積分として表現可能であり、そのIPPは、部分積分（IBP）と𝜖形の正規化微分方程式を用いて楕円型多重多ログ関数（eMPLs）で表現可能である。この手法により、物理的領域における2点関数および3点関数の完全な解析的解が得られる。

ABSTRACT

We define linearly reducible elliptic Feynman integrals, and we show that they can be algorithmically solved up to arbitrary order of the dimensional regulator in terms of a 1-dimensional integral over a polylogarithmic integrand, which we call the inner polylogarithmic part (IPP). The solution is obtained by direct integration of the Feynman parametric representation. When the IPP depends on one elliptic curve (and no other algebraic functions), this class of Feynman integrals can be algorithmically solved in terms of elliptic multiple polylogarithms (eMPLs) by using integration by parts identities. We then elaborate on the differential equations method. Specifically, we show that the IPP can be mapped to a generalized integral topology satisfying a set of differential equations in $\\epsilon$-form. In the examples we consider the canonical differential equations can be directly solved in terms of eMPLs up to arbitrary order of the dimensional regulator. The remaining 1-dimensional integral may be performed to express such integrals completely in terms of eMPLs. We apply these methods to solve two- and three-points integrals in terms of eMPLs. We analytically continue these integrals to the physical region by using their 1-dimensional integral representation.

研究の動機と目的

• 複数の多ログ関数を超える、任意の𝜖次数までアルゴリズム的に解ける楕円型フェニマン積分のクラスを定義・特徴づけること。
• 次元的正則化パrameter 𝜖における任意の次数まで、これらの積分を体系的に計算する手法を開発すること。
• このような積分の内側の多ログ関数的被積分関数（IPP）が、𝜖形の正規化微分方程式にマッピング可能であることを示すこと。
• 直接積分とIBP恒等式を用いて、全解が楕円型多重多ログ関数（eMPLs）で表現可能であることを示すこと。
• IPPの1次元積分表現を用いて、物理的領域への解析的接続を可能にすること。

提案手法

• パラメトリック表現において多ログ関数による逐次積分が可能なフェニマン積分として、線形還元可能な楕円型フェニマン積分を定義する。
• フェニマンのパラメトリック表現と直接積分を用い、積分を内側の多ログ関数的被積分関数（IPP）に関する1次元積分に還元する。
• 部分積分（IBP）恒等式を適用し、IPPを𝜖形の正規化微分方程式系にマッピングする。
• 𝜖形微分方程式を用いて、IPPを𝜖の任意の次数まで楕円型多重多ログ関数（eMPLs）の形で解く。
• 残りの1次元積分を実行し、全フェニマン積分を完全にeMPLsの形で表現する。
• 1次元積分表現を用いて、結果を物理的領域に解析接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元的正則化パrameter 𝜖における任意の次数まで、既知の特殊関数を用いてアルゴリズム的に解ける楕円型フェニマン積分のクラスを定義可能か？
• RQ2 このような積分の内側の多ログ関数的被積分関数（IPP）は、IBPと正規化微分方程式を用いて楕円型多重多ログ関数（eMPLs）で表現可能か？
• RQ3 IPPの正規化微分方程式は、eMPLsの形で解けるか。これにより𝜖展開における完全な解が得られるか？
• RQ4 IPPの1次元積分表現を用いて、物理的領域への解析的接続が可能か？
• RQ5 線形還元可能なクラスに属する2点および3点積分は、eMPLsの形で完全な解析的解をもつのか？

主な発見

• 本稿では、パラメトリック表現において多ログ関数による直接積分が可能なフェニマン積分として、線形還元可能な楕円型フェニマン積分を定義している。
• IPPは、部分積分恒等式と𝜖形の正規化微分方程式を用いて、楕円型多重多ログ関数（eMPLs）で解ける。
• IPPの微分方程式が𝜖形であることが示され、𝜖の任意の次数までeMPLsの形で直接解ける。
• 残りのIPPに関する1次元積分を実行でき、フェニマン積分の完全な解析的表現がeMPLsの形で得られる。
• 本手法により、2点および3点積分がeMPLsの形で正しく計算され、マスターリンテグラルおよびそのIPPの明示的表現が提供されている。
• IPPの1次元積分表現を用いて、物理的領域への解析的接続が達成され、本手法が物性的関連の運動量領域においても有効であることが確認された。