[論文レビュー] All Pairs Shortest Paths using Bridging Sets and Rectangular Matrix Multiplication

Uri Zwick|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ブリッジングセットと長方形行列積を用いた、有向グラフにおける全点対最短経路（APSP）問題の2つの新しいアルゴリズムを提示する。最初のアルゴリズムは、長方形行列積の指数μを活用することで、小さな整数重みに対してÕ(n^{2.575})の時間で解ける。第二のアルゴリズムは、非負の実数重みに対して(1+ε)-近似距離をÕ((n^ω/ε) log W)の時間で計算し、従来の境界を顕著に改善する。

ABSTRACT

We present two new algorithms for solving the {\em All Pairs Shortest Paths} (APSP) problem for weighted directed graphs. Both algorithms use fast matrix multiplication algorithms. The first algorithm solves the APSP problem for weighted directed graphs in which the edge weights are integers of small absolute value in $\Ot(n^{2+μ})$ time, where $μ$ satisfies the equation $ω(1,μ,1)=1+2μ$ and $ω(1,μ,1)$ is the exponent of the multiplication of an $n imes n^μ$ matrix by an $n^μ imes n$ matrix. Currently, the best available bounds on $ω(1,μ,1)$, obtained by Coppersmith, imply that $μ<0.575$. The running time of our algorithm is therefore $O(n^{2.575})$. Our algorithm improves on the $\Ot(n^{(3+ω)/2})$ time algorithm, where $ω=ω(1,1,1)<2.376$ is the usual exponent of matrix multiplication, obtained by Alon, Galil and Margalit, whose running time is only known to be $O(n^{2.688})$. The second algorithm solves the APSP problem {\em almost} exactly for directed graphs with {\em arbitrary} non-negative real weights. The algorithm runs in $\Ot((n^ω/\eps)\log (W/\eps))$ time, where $\eps>0$ is an error parameter and W is the largest edge weight in the graph, after the edge weights are scaled so that the smallest non-zero edge weight in the graph is 1. It returns estimates of all the distances in the graph with a stretch of at most $1+\eps$. Corresponding paths can also be found efficiently.

研究の動機と目的

• 小さな整数重みまたは非負の実数重みをもつ有向グラフにおける全点対最短経路（APSP）問題の高速化アルゴリズムの開発。
• 標準的なO(n^3)の境界を超えるAPSPの漸近的時間計算量の向上を目的とした、高速な長方形行列積技術の活用。
• 長方形行列積の指数μを活用することで、小さな整数重みをもつAPSPのためのサブキュービック時間計算量の達成。
• 距離推定に(1+ε)-ストレッチ保証をもつ非負実数重み付きグラフのための効率的な近似アルゴリズムの設計。
• 有向APSPにおいてÕ(n^ω)時間計算量を達成する可能性の探求。これは、無向グラフにおける既知の結果を模倣するものである。

提案手法

• 最初のアルゴリズムは、ブリッジングセットと長方形行列積を用いて距離積を計算し、指数を2+μに低減する。ここでμはω(1,μ,1)=1+2μを満たす。
• Coppersmithの研究から得られる、μ<0.575という既知の最良境界を活用して、n×n^μおよびn^μ×n行列の高速行列積を適用する。
• 第二のアルゴリズムは、スケーリングと丸め処理を用いて実数重みを整数に変換し、近似距離積計算の利用を可能にする。
• 解像度R=O((log n)/ε)を用いて誤差蓄積を制御する近似距離積アルゴリズム（approx-dist-prod）を採用する。
• アルゴリズムは、近似距離積を繰り返し用いて距離行列を二乗化し、ℓ反復後にストレッチ要因が(1+4/R)^ℓ以下であることを維持する。
• 距離推定後に近似最短経路を効率的に再構築するため、ウェッジット行列を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな整数重みをもつ有向グラフにおけるAPSP問題は、高速な長方形行列積を用いてサブキュービック時間で解けるか？
• RQ2 小さな整数重みをもつAPSPで達成可能な最良の時間計算量は何か？また、それは長方形行列積の指数μとどのように関係するか？
• RQ3 高速行列積技術を用いて、非負実数重み付きグラフにおける効率的な(1+ε)-近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 有向APSPにおいて、無向グラフで知られている結果と同様にÕ(n^ω)時間計算量を達成することは可能か？
• RQ5 整数重みが[−M,M]に含まれるAPSPがサブキュービック時間で解ける最大のMの値は何か？

主な発見

• 最初のアルゴリズムは、小さな整数重みをもつAPSPをÕ(n^{2.575})時間で解ける。これは、Alon, Galil, and Margalitの以前のÕ(n^{2.688})の境界を改善する。
• Õ(n^{2.575})の実行時間は、ω(1,μ,1)=1+2μを満たす指数μに関する、既知の最良境界μ<0.575に基づく。
• 第二のアルゴリズムは、スケーリング後の最大辺重みWを用いて、(1+ε)-近似最短経路をÕ((n^ω/ε) log W)時間で計算する。
• 近似距離積計算を⌈log₂n⌉反復することで、ストレッチ要因が(1+ε)以下に保たれる。
• 解像度R=O((log n)/ε)を用いることで、対数的反復回数にわたる誤差蓄積が(1+ε)の境界内に収まることが保証される。
• ウェッジット行列を用いた手法により、距離推定を超えて近似最短経路の効率的再構築が可能となり、アルゴリズムの応用範囲が拡張される。