[論文レビュー] All Real Eigenvalues of Symmetric Tensors

Chunfeng Cui, Yu‐Hong Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式最適化におけるヤコビアン半定値緩和を用いた新しい逐次的アルゴリズムを提案し、対称テンソルのすべての実固有値（最大から最小へ）を計算する。各実固有値が有限階層の半定値緩和によって計算可能であることを証明し、数値実験によりその有効性を確認した。特に、メモリ制限や時間制限のため従来の方法（例：NSolve）が失敗するケースにおいて顕著な優位性を示した。

ABSTRACT

This paper studies how to compute all real eigenvalues of a symmetric tensor. As is well known, the largest or smallest eigenvalue can be found by solving a polynomial optimization problem, while the other middle eigenvalues can not. We propose a new approach for computing all real eigenvalues sequentially, from the largest to the smallest. It uses Jacobian SDP relaxations in polynomial optimization. We show that each eigenvalue can be computed by solving a finite hierarchy of semidefinite relaxations. Numerical experiments are presented to show how to do this.

研究の動機と目的

• 極値固有値だけでなく、すべての実固有値を信頼性高く計算するための手法を開発すること。
• 従来の手法が中間固有値を効率的に計算できないという限界に対処すること。
• すべての実固有値を逐次的に計算可能な、有限で収束する半定値緩和の階層を構築すること。
• さまざまなテンソルサイズおよび次数において、本手法のスケーラビリティとロバスト性を示すこと。

提案手法

• Lasserreの半定値緩和階層とヤコビアンに基づくリフトを組み合わせ、固有値問題を多項式最適化問題として扱う。
• 各実固有値の計算を等式制約および不等式制約を伴う制約付き多項式最適化問題として定式化する。
• 最大固有値から順に計算を開始する逐次的アプローチを採用し、小さな正のパラメータδを用いたデフラクションにより、次第に小さい固有値を計算する。
• 実固有値をより高い精度で近似するために、有限階層の半定値計画問題（SDP）を用いる。
• 数値的安定性と収束性を向上させるために、対称性および順序制約（例：$x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n$）を組み込む。
• 対称テンソルの構造と形式$\mathcal{A}x^m$の斉次性を活用し、計算複雑度を低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称テンソルのすべての実固有値を、最大や最小に限らず、体系的かつ計算可能か？
• RQ2 すべての実固有値を逐次的に計算可能な有限階層の半定値緩和をどのように構築できるか？
• RQ3 本手法の計算スケーラビリティは、高次元または高次テンソルに対してどの程度か？
• RQ4 時間的・メモリ的効率の観点から、直接解法（例：NSolve）と比較して本手法はどのように優位性を示すか？
• RQ5 パラメータδは、近接した実固有値を分離するために果たす役割は何か？

主な発見

• n=4の場合、アルゴリズム3.6は4つの実Z固有値を3.6秒で計算し、NSolve（19.3秒）を上回った。
• n=5の場合、アルゴリズム3.6は5つの実Z固有値を274.5秒で計算したが、NSolveは5時間以内に結果を返せなかった。
• n=8,9,10の場合、アルゴリズムは最初の3つの最大Z固有値を計算できたが、緩和次数N=4でのメモリ制限のため、より小さい固有値の計算は不可能だった。
• 表4.14に示すように、n ≤ 7およびm ≤ 6の対称テンソルに対して、本アルゴリズムはすべての実Z固有値を正しく計算できた。
• n=2、m=3で固有値が10^{-6}の差を示す困難なケースにおいて、アルゴリズムは約2秒でλ₁ = 1.000001、λ₂ = 1.000000、λ₃ = 0.707107を正しく計算した。
• n ≤ 10およびm ≤ 6の範囲では本手法は良好にスケーリングするが、より大きなnまたはmでは、高次の緩和次数におけるメモリ制限のため失敗した。