[論文レビュー] All spacetimes beyond Einstein (Obergurgl Lectures)

F. Schüller|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2011

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、アインシュタインの一般相対性理論を越えるすべての時空幾何構造を包括的に分類するものであり、因果的構造と予測可能な物質力学を統合するため、双曲的で時間的向き付け可能かつエネルギーを区別する条件を満たす完全対称で偶数階の反変テンソル場 $ P $ のみが物理的に妥当な時空構造として機能可能であると特定している。主な結果は、これらの幾何構造が因果性と物質の予測可能な力学を統一的に扱うのに対し、$ \deg P = 2 $ のときアインシュタイン理論が最も単純な場合として現れ、高階の $ P $ に対してはハミルトニアン形式による体系的な重力力学の定式化から修正重力理論が導かれる点にある。

ABSTRACT

Which geometries on a smooth manifold (apart from Lorentzian metrics) can serve as a spacetime structure? This question is comprehensively addressed from first principles in eight lectures, exploring the kinematics and gravitational dynamics of all tensorial geometries on a smooth manifold that can carry predictive matter equations, are time-orientable, and allow to distinguish positive from negative particle energies.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上での予測可能な物質力学を支持し、粒子の正エネルギー状態と負エネルギー状態を区別できるすべてのテンソル的時空幾何構造を特定すること。
• 超光速ニュートリノ報道などの異常を動機として、ローレンツ計量を超える時空幾何の基礎を一般化すること。
• 特定の $ P $ の形に依存しない、すべてのこのような幾何構造における重力力学の統一的数学的枠組みを確立すること。
• これらの一般化された幾何構造において、特に因果的構造が、超光速伝播に対しても良好に定義されたままであることを示すこと。
• 修正重力理論の探索を、ハミルトニアン形式から導かれる線形偏微分方程式系の解法という、解ける数学的問題に還元すること。

提案手法

• 物質場の分散関係を記述する完全対称で偶数階の反変テンソル場 $ P $ を用いて、時空幾何を定義する。
• $ P $ に3つの代数的条件を課す：双曲性（適切に定式化されたコーシー問題を保証）、時間的向き付け（過去と未来を区別）、エネルギー区別性（正エネルギー状態と負エネルギー状態が分離可能）。
• 凸解析、実代数幾何学、線形双曲型偏微分方程式論の道具を用いて、因果的構造が良好に定義されることを保証する。
• ラグランジアン密度のレジェンドル双対 $ \hat{K}^A $ から canonical な運動量 $ \hat{\pi}_A $ を導出し、重力力学のハミルトニアン形式を構築する。
• 各 $ \deg P $ に対して重力力学を支配するラグランジアン係数 $ G_{B_1\dots B_N} $ の線形偏微分方程式系を導出する。
• $ \deg P = 2 $ の場合にこの系を解き、宇宙定数を含むアインシュタインの一般相対性理論が再現されることを確認し、$ \deg P > 2 $ の修正理論の存在、一意性、明示的構成のための条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上でのどのテンソル場が、予測可能な物質力学と粒子のエネルギー符号の一貫性を保証する時空幾何として機能可能か？
• RQ2 超光速伝播を伴う時空において因果性をどのように保てるか？ どのような幾何的構造がこれを可能にするか？
• RQ3 予測可能性とエネルギー区別性という物理的要件を満たすすべての可能ないくらん時空幾何構造の完全な数学的分類は何か？
• RQ4 物理的直感に依存せず、任意の一般化された時空幾何構造に対して重力力学を体系的に導出する方法は何か？
• RQ5 $ \deg P > 2 $ の修正重力理論の構造は何か？ そしてアインシュタイン方程式をどのように一般化するか？

主な発見

• 物理的に妥当な時空幾何構造は、すべて完全対称で偶数階の反変テンソル場 $ P $ によって特徴づけられ、双曲的で時間的向き付け可能かつエネルギーを区別可能である。
• このような幾何構造のクラスは完全であり、非テンソル的または非対称な代替案をすべて除外するため、古典的時空構造に対して包括的である。
• $ \deg P = 2 $ の場合、導かれた重力力学はアインシュタインの一般相対性理論に宇宙定数を含む形で再現され、標準理論が最も単純な場合であることが確認された。
• $ \deg P > 2 $ の修正重力理論の存在は、ラグランジアン係数 $ G_{B_1\dots B_N} $ の線形偏微分方程式系の可解性に等しく、非自明ではあるが数学的に明確に定義された問題である。
• このような修正理論の一意性は、この偏微分方程式系の解の一意性に依存し、特定の $ \deg P $ に対して明示的な解が構成可能であるが、高階のケースについては未解決のまま残っている。
• 空間幾何の初期データからの進化という幾何力学的原理は、特定の $ P $ に依存せず有効であり、一般相対性理論の核心的アイデアがローレンツ計量を超えても存続することを示している。