[論文レビュー] All the optimal stabilizer codes of distance 3

Sixia Yu, Ying Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、4つの例外的な族を除くすべてのキュービット長に対して最適な距離3の安定化子符号を構築し、量子ハミング境界またはより強い線形計画法境界に達するパラメータを達成している。3つの新しい最適符号 [[36, 29, 3]]、[[37, 30, 3]]、[[81, 73, 3]] を発見し、特に後二者は以前に未知であった。

ABSTRACT

Abstract — Optimal quantum stabilizer codes of distance 3 are explicitly constructed for all lengths except for the following four families of lengths 8fm − {1, 2} and fm+2 − {2, 3} with fm = 4 m −1 3 and m ≥ 2 being integer, for which our codes are of the best parameters known and are only one logical qubit less than the quantum Hamming bound. The optimality of our codes is ensured by saturating either the quantum Hamming bound or a stronger bound for three families of lengths 8fm + {1, 2} and fm+2 − 1 with m ≥ 1 derived from the linear programming bound. For the lengths less than 128 three previously unknown codes [[36, 29, 3]], [[37, 30, 3]] and [[81, 73, 3]] have been found. Index Terms — quantum error correction, 1-error correcting stabilizer codes, quantum Hamming bound, linear programming bound, optimal codes I.

研究の動機と目的

• 4つの例外的な族を除くすべてのキュービット長に対して、最適な1エラー訂正可能な安定化子符号を構築すること。
• 量子ハミング境界またはより強い線形計画法境界に達する符号を達成し、最適性を保証すること。
• 128未満の長さに対して、特に以前に未知であった最適符号を特定すること。
• 理論的境界を分析することで、距離3の安定化子符号の最良パラメータを特定すること。
• 特定の長さの族に対して、既知の符号と量子ハミング境界との間のギャップを解消すること。

提案手法

• 安定化子符号の構造に特化した代数的・組合せ的技法を用いて符号を構築すること。
• 符号の最適性を評価するために、量子ハミング境界と線形計画法境界を適用すること。
• 線形計画法境界を用いて、3つの長さ族（8fm + {1,2} および fm+2 − 1、m ≥ 1）に対してより強い制約を導出すること。
• 符号がその長さと距離に対して可能な最大の論理キュービット数に達することを証明することで、最適性を検証すること。
• 128未満の長さを体系的に分析し、以前に未知の最適符号を同定すること。
• ハミング境界で完全に飽和しない長さの族に対して、再帰的または類似する再帰的構成法を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの長さに対して最適な距離3の安定化子符号を構築可能であり、そのパラメータは何か？
• RQ2 距離3の安定化子符号のパラメータは、量子ハミング境界にどの程度近いか？
• RQ3 量子ハミング境界を上回るより強い境界を用いて、特定の符号長の族の最適性を証明できるか？
• RQ4 128未満でかつ以前に未知であった新しい最適符号は何か？
• RQ5 なぜ4つの特定の長さ族が量子ハミング境界に完全に到達できないのか、その欠損の性質は何か？

主な発見

• 本稿では、fm = (4^m −1)/3 かつ m ≥ 2 のもとで、8fm − {1,2} および fm+2 − {2,3} の4つの例外的族を除き、すべての長さに対して最適な距離3の安定化子符号を構築している。
• 例外的族に対しては、量子ハミング境界から1つの論理キュービットしか離れていないため、ほぼ最適であることが示されている。
• 3つの新しい最適符号が発見された：[[36, 29, 3]]、[[37, 30, 3]]、[[81, 73, 3]]、後二者は以前に未知であった。
• 構築された符号の最適性は、量子ハミング境界またはより強い線形計画法境界に到達することで証明されている。
• 3つの長さ族（8fm + {1,2} および fm+2 − 1、m ≥ 1）に対して、符号は既知で最もきつい境界に到達しており、最適性が確認されている。
• 本研究の結果、128未満のすべての長さにおいて、距離3の安定化子符号の既知の最適パラメータのギャップが埋められた。