[論文レビュー] Allard-type boundary regularity for $C^{1,\alpha}$ boundaries

Theodora Bourni|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の $\alpha \in (0,1]$ に対して $C^{1,\bar{\alpha}}$ 境界をもつ可 rectifiable 変分に対して、境界における単調性公式を確立し、Allard の境界正則性理論を $C^{1,1}$ の場合を超えて拡張する。Whitneyに基づく距離関数の滑らかな近似を導入することで、著者らは単調性公式を証明し、$L^p$ 平均曲率の有界性（$p>k$）のもとで $C^{1,\gamma}$ 正則性結果を導出する。ここで $\gamma = 1 - k/p$ であり、Allard の元々の定理をより正則性の低い境界へ一般化する。

ABSTRACT

In this paper we show boundary monotonicity formulae for rectifiable varifolds having a $C^{1,\\alpha}$ "boundary". In particular, we show that the area ratios of balls centered at this "boundary'' satisfy a nice monotonicity formula, similar to that for interior balls (proved in Allard's paper "On the first variation of a varifold''). This extends the boundary monotonicity formulae of Allard (see "On the first variation of a varifold- boundary behavior''), which require that the boundary is $C^{1,1}$. As a corollary, Allard's boundary regularity results extend to this case and provide a regularity result for rectifiable varifolds with a $C^{1,\\alpha}$ ``boundary''.

研究の動機と目的

• Allard の境界正則性定理を $C^{1,1}$ 境界から任意の $\alpha \in (0,1]$ に対して $C^{1,\alpha}$ 境界へ拡張すること。
• 可 rectifiable 変分に対して、Allard の内部単調性と類似した、$C^{1,\alpha}$ 境界をもつ境界における単調性公式を確立すること。
• $C^{1,\alpha}$ 境界付近における距離関数 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ の微分可能性の欠如を、Whitney分割を用いた滑らかな近似によって克服すること。
• $L^p$ 平均曲率の有界性（$p>k$）のもとで、高さ-傾き推定および正則性結果を証明し、Allard の $C^{1,1}$ 結果を一般化すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^{n+k} \setminus B$ の Whitney 分割を導入し、距離関数 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ の滑らかな近似 $\sigma(x)$ を定義する。この $\sigma(x)$ は $\rho_0$ に対して $C^{1,\alpha}$-近似を保つ。
• Whitneyに基づく距離関数 $\sigma(x)$ を用いて、面積比 $\omega_k^{-1} r^{-k} \mu_V(B_r(x))$ に対する境界単調性公式を導出し、$x$ が $C^{1,\alpha}$ 境界 $B$ の近くにあるとき、$r$ に関して単調減少であることを示す。
• Whitney近似の正則性を活用することで、変分の第一変分が境界から離れていない場所でも局所的に有界であることを証明する。
• 最近点射影の代わりに Whitney 距離関数を用いて、高さ-傾き推定（定理 4.10）を確立する。その境界は $C^{1,1}$ の代わりに $C^{1,\alpha}$-ノルムに依存する。
• Allard の内部正則性理論の枠組みを、境界に近い点を中心とする球に適用する。新たな単調性および高さ-傾き推定を用いて、$\gamma = 1 - k/p$ の $C^{1,\gamma}$ 正則性を導出する。
• 被覆議論と、変分の接平面と境界の接平面との間の比較推定を用いて、接バンドルの Hölder 継続性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Allard の境界単調性公式および正則性定理は、$C^{1,1}$ から任意の $\alpha \in (0,1]$ に対して $C^{1,\alpha}$ 境界へ拡張可能か？
• RQ2 $C^{1,\alpha}$ 境界に対して、単調性公式の導出に十分な正則性を保つ滑らかな距離関数をどのように構成できるか？
• RQ3 $\alpha < 1$ のとき最近点射影が $C^{1,\alpha}$ 境界付近で微分可能でないことは、境界単調性および正則性結果の導出を妨げるか？
• RQ4 $C^{1,\alpha}$ 境界をもつ場合に、$L^p$ 可積分性をもつ平均曲率に対する、変分の正則性の最適 Hölder 指数 $\gamma$ は何か？
• RQ5 Allard の理論における高さ-傾き推定は、最近点射影の代わりに Whitney 基盤の距離関数を用いて再証明可能か？その境界は $C^{1,\alpha}$-ノルムに依存するか？

主な発見

• 本稿は、$C^{1,\alpha}$ 境界をもつ可 rectifiable 変分に対して境界単調性公式を確立し、$x$ が境界付近にあるとき、面積比 $\omega_k^{-1} r^{-k} \mu_V(B_r(x))$ が $r$ に関して単調減少であることを示した。
• Whitney分割を用いて構成された新しい滑らかな距離関数 $\sigma(x)$ が、微分不能な $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ の代わりに用いられ、単調性および正則性推定の導出を可能にした。
• $C^{1,\alpha}$ 偽定下では、変分の第一変分が境界から離れていない場所でも局所的に有界であることが示された。
• Allard の補題 4.5 における高さ-傾き推定が $C^{1,\alpha}$ 境界へ一般化され、境界は $C^{1,1}$-ノルムではなく $C^{1,\alpha}$-ノルムに依存するようになった。
• 主な正則性結果（定理 4.4）は、$L^p$ 平均曲率の有界性（$p>k$）のもとで、境界付近で変分が $C^{1,\gamma}$ 正則であることを示し、$\gamma = 1 - k/p$ である。これは Allard の $C^{1,1}$ 結果を拡張する。
• 変分の接平面の Hölder 継続性が定量的に評価された：$\|\operatorname{proj}_{T_xM} - \operatorname{proj}_{T_yM}\| \leq C \max\{\mu, \eta\} \max\{|x-y|^{1-k/p}, |x-y|^\alpha\}$ ここで $\mu, \eta$ は平均曲率および境界正則性を制御する。