[論文レビュー] Allocation of seats in the European Parliament and a degressive proportionality

Jan Florek|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2011

Game Theory and Voting Systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、劣勾配比例の原則に従って欧州議会の議席を割り当てる数学的に厳密で独自の手法を提案する。この手法により、大きな加盟国はより多くの議席を獲得するが、各議席がカバーする市民数は増加する。調整可能なパラメータを備えた帰納的アルゴリズムを用いて、制約条件のもとで全議席数を最大化する公平で非減少な議席数列を生成し、その最適性と割り当て関数の連続性を証明する。

ABSTRACT

Distribution of seats in The European Parliament postulated by Treaty of Lisbon should be degressively proportional. The meaning of degressively proportional concept can be found in two principles annexed to the draft of European Parliament resolution. The first, referred as the principle of fair division, states that "the larger the population of a Member State, the greater is entitlement to a large number of seats". The other condition, referred to as the principle of relative proportionality, holds that "the larger the population of a country, the more inhabitants are represented by each of its Members of the EU". We postulate a clear and fair method which determines uniquely a distribution of seats in the European Parliament which fulfil the requirements of degressive proportionality. More generally, let $l_i$ be any non-increasing sequence of real positive numbers. We say that a sequence of natural numbers $m_{i}$ is degressively proportional with respect to the sequence $l_{i}$, if $m_{i}$ and $l_{i}/m_{i}$ are non-increasing sequences. Our method can be instrumental in uniquely determining a degressively proportional sequence $m_{i}$ with respect to $l_{i}$ which fulfils given conditions.

研究の動機と目的

• 劣勾長比例の原則に従って、欧州議会の議席割り当てに一意的で公平な手法が欠如している問題を解決すること。
• 議席数と一人の代表が担当する人口が両方とも非増加である条件として、劣勾長比例を形式化すること。
• 条約の制限（1国あたり6〜96議席、全議席数の合計が750以下）と劣勾長比例を満たす議席分配を一意に決定する構成的アルゴリズムを開発すること。
• 連続性と割り当て関数の単調性を用いて、提案手法のもとでの最大議席割り当ての存在と最適性を証明すること。
• 同じ初期条件を満たす他のすべての可能な列よりも優越する、最適割り当てを計算可能な手続きを提供すること。

提案手法

• 議席数列 $ m_i $ と人口1人当たりの代表数 $ l_i/m_i $ が両方とも非増加であるという条件により、劣勾長比例を定義する。
• 帰納的アルゴリズムを提案：$ m_1 = M $、$ i \geq 2 $ に対して $ m_i = \min\left(\left\lceil \frac{m_{i-1} l_i}{l_{i-1}} + a_i \right\rceil, m_{i-1} \right) $、ここで $ a_i \geq 0 $ かつ $ M \in \mathbb{N} $。
• スケーリングパラメータ $ c $ を導入し、初期条件 $ (M, \{c a_i\}) $ を用いて $ m_i(c) $ を劣勾長比例の列とする。これにより、全議席数 $ \Phi(c) = \sum m_i(c) $ が左連続かつ非減少となることが保証される。
• 全議席数が $ Y $ 以下となる最大の $ c $、すなわち $ c_Y $ を特定する。ここで $ Y $ は全議席の上限（例：750）を表す。
• 不連続点と段階関数を用いて $ c_Y $ を計算し、$ \Phi(c_Y) \in [Y - (n-2), Y] $ となるようにする。これにより、全議席数のほぼ最大値が達成されることが保証される。
• 2段階の計算手順を採用する：まず $ \Phi(c_0) \leq Y $ を満たす $ c_0 $ を特定し、次に $ c_{k+1} = c_k + \lfloor \beta(c_k) \rfloor $ を繰り返し計算し、$ \Phi(c_k) \leq Y $ かつ $ \Phi(c_k + \gamma(c_k)) > Y $ となるまで進める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 劣勾長比例の下で、公平な分配と相対的割合の原則の両立に課せられる矛盾を考慮した場合、欧州議会の議席割り当てを一意的かつ公平に決定する方法は何か？
• RQ2 議席分配が劣勾長比例を満たすための数学的条件は何か？ また、このような列をどのようにアルゴリズム的に構成できるか？
• RQ3 固定された議席上限のもとで、最小・最大議席数の制限を満たしつつ、全代表数を最大化するような手法を設計できるか？
• RQ4 全議席数関数 $ \Phi(c) $ の連続性と単調性は、最適な割り当ての計算をどのように可能にするか？
• RQ5 全議席数の合計と上限 $ Y $ の差の理論的上限は何か？ そしてそれはどのように導出されるか？

主な発見

• 提案手法は、パrameter $ a_i $ を備えた帰納的公式を用いて、一意的かつ公平に劣勾長比例の議席割り当てを決定する。
• 全議席数関数 $ \Phi(c) $ は左連続かつ非減少であり、$ \Phi(c_Y) \leq Y $ かつ $ \Phi(c_Y) $ が最大となるような $ c_Y $ の計算が可能である。
• 全議席上限 $ Y = 750 $ の場合、この手法により $ \sum m_i(c_Y) \in [748, 750] $ となることが保証され、上限と比較して最大で2議席の損失に抑えられる。
• 不連続点の検出を用いた段階的増分により $ c_Y $ が計算可能であり、例として $ c_3 \approx 1.257 $ で757議席が得られることが示され、本手法のスケーラビリティが裏付けられる。
• $ Y \in [\Phi(0), \Phi(\delta)] $ の場合、$ \Phi(c_Y) $ の下限は $ Y - (n-2) $ であることが示され、全加盟国にわたる近似的最適性が証明される。
• 同じ初期条件 $ (M, \{c a_i\}) $ を満たす他のすべての列に対して、本手法は優越するため、公平性と最大代表数の両立が保証される。