[論文レビュー] Almost all one-relator groups with at least three generators are residually finite

Mark Sapir, Iva Špakulová|ArXiv.org|Sep 26, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一関係子群がほとんどすべての生成子を3つ以上もつ場合、ほとんど確実に、残余有限であり、大きな素数 p に対してほとんどすべての (有限 p)-群に残余する、かつ一貫性を持つことを示す。これは、それらがほとんど確実に自由群の上行的 HNN 拡大に埋め込まれることを示すことによって達成される。証明は、組合せ的群論と確率論的手法を組み合わせており、ブラウン運動の結果や自由群上の非後退的ランダムウォークを用い、幾何的群論と代数的幾何学の深い結果を活用して、一般の有限性の性質を確立する。

ABSTRACT

We prove that with probability tending to 1, a 1-relator group with at least 3 generators and relator of length n is residually finite, virtually residually (finite p)-group for all sufficiently large p, and coherent. The proof uses both combinatorial group theory and non-trivial results about Brownian motions, bridges and excursions in R^k.

研究の動機と目的

• 3つ以上の生成子をもつ1関係子群の一般的な残余有限性および一貫性の性質を特定すること。
• このような群がほとんど確実に上行的自由群のHNN拡大に埋め込まれることを確立すること。これは、既知の有限性性質を持つ重要な構造的クラスである。
• 三つの確率的モデル（NR, CR, IC）におけるランダム1関係子群の漸近的挙動を分析し、確率が1に収束することを示すこと。
• 特に3つ以上の生成子を持つ場合に、1関係子群において残余有限性が一般に成り立つかどうかを解明すること。
• 確率論的および幾何的手法を用いて、1関係子群の同型問題および構造的性質の理解を拡張すること。

提案手法

• k ≥ 3 個の生成子と長さ r の関係子をもつランダム1関係子群を定義するための三つの確率的モデル（NR, CR, IC）を用い、r → ∞ の極限における確率の極限を分析する。
• 幾何的群論の結果を適用する。特に、Feighn と Handel の上行的HNN拡大の自由群における一貫性に関する結果。
• Borisov と Sapir の結果を用い、このようなHNN拡大が大きな素数 p に対して残余有限であり、かつほとんどすべての (有限 p)-群に残余することを示す。
• Cranston, Hsu, および March の結果を用い、ウィener測度におけるブラウン運動の経路の凸包境界の滑らかさを分析し、ランダムウォークの幾何を考察する。
• Olshanskii の双曲群における合同拡張性質と、Kapovich-Schupp-Shpilrain の1関係子群における一般の同型問題の可解性を適用する。
• 自由群上の非後退的ランダムウォークを用い、「悪い」ウォーク（0セルへの一意な射影を持たないもの）を定義し、k > 2 の場合にその確率が0に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3 個の生成子をもつランダム1関係子群が、残余有限である確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 k ≥ 3 個の生成子をもつランダム1関係子群が、自由群の上行的HNN拡大に確率1に埋め込まれるか？
• RQ3 k ≥ 3 個の生成子をもつ1関係子群の一般的挙動は、関係子長が増加する極限において、一貫性と残余有限性を示唆するか？
• RQ4 2生成子の場合の挙動がなぜ一般に異なるのか。この場合でも残余有限性が確率1で成り立つか？
• RQ5 すべての形のHNN拡大 H(k,i,w) は残余有限か？ そして、これは2生成子1関係子群における一般の残余有限性を示唆するか？

主な発見

• 関係子長 r → ∞ のとき、k 個の生成子をもつ1関係子群（k ≥ 3）が、有限生成自由群の上行的HNN拡大に確率1に埋め込まれる。
• その結果、このような群は、十分に大きな素数 p に対して、ほとんど確実に残余有限であり、かつほとんどすべての (有限 p)-群に残余する。
• k > 2 の場合、関連するヴァン・コンペン図形における0セルへの一意な射影を持たない「悪い」1関係子群の確率は、漸近的に0に収束する。
• この結果は、非残余有限性を保つために関係子長の増加に加法的定数を加えることは不可能であり、Baumslag-Miller-Traegerの予想に反する。
• k ≥ 3 の場合、三つの確率的モデル（NR, CR, IC）において、残余有限性および一貫性の確率は1に収束する。これは、極限確率が等価であるためである。
• 2生成子の場合の問題は未解決のままだが、実験的証拠および理論的考察から、H(k,i,w) 拡大が一般に成り立つと考えられ、その残余有限性が2生成子1関係子群における一般の残余有限性を示唆する。