[論文レビュー] Almost all primes satisfy the Atkin-Serre conjecture and are not extremal

Ayla Gafni, Jesse Thorner+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、偶数重さ $k \geq 2$ の非-CM ホロモーフィックカスピダル新形式について、100% の素数がアトキン＝セール予想を条件なしで満たすことを確立している。一方、極値素数（つまり、$|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$ を達成する素数）は 0% にとどまる。証明は、ニュートンとターンの対称べき $L$-関数のモジュラリティと、トーナーの有効な境界から導かれる、明示的な誤差項を伴う有効なサトウ＝ターティング定理に依拠しており、アトキン＝セールの下界および極値性の例外的集合に対する有効な上界を導出する。

ABSTRACT

Let $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} a_f(n)e^{2\pi i n z}$ be a non-CM holomorphic cupsidal newform of trivial nebentypus and even integral level $k\geq 2$. Deligne's proof of the Weil conjectures shows that $|a_f(p)|\leq 2p^{\frac{k-1}{2}}$ for all primes $p$. We prove for 100% of primes $p$ that $2p^{\frac{k-1}{2}}\frac{\log\log p}{\sqrt{\log p}}<|a_f(p)|<\lfloor 2p^{\frac{k-1}{2}} floor$. Our proof gives an effective upper bound for the size of the exceptional set. The lower bound shows that the Atkin-Serre conjecture is satisfied for 100% of primes, and the upper bound shows that $|a_f(p)|$ is as large as possible (i.e., $p$ is extremal for $f$) for 0% of primes. Our proofs use the effective form of the Sato-Tate conjecture proved by the second author, which relies on the recent proof of the automorphy of the symmetric powers of $f$ due to Newton and Thorne.

研究の動機と目的

• 偶数重さ $k \geq 2$ の非-CM ホロモーフィックカスピダル新形式の文脈において、ほとんどすべての素数に対してアトキン＝セール予想を条件なしに確立すること。
• 極値素数（$|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$ を満たす素数）の数に対する有効な上界を提供し、そのような素数が密度ゼロであることを示すこと。
• 新形式の対称べきのモジュラリティに起因する、明示的な誤差項を伴う有効なサトウ＝ターティング定理を活用し、条件付き結果を条件なしで有効な境界に強化すること。
• ムルティ、ムルティ、サラダの先行研究を拡張・精緻化し、フーリエ係数の例外的集合の大きさに関する結果を改善すること。

提案手法

• ニュートンとターンによる新形式の対称べき $L$-関数のモジュラリティの証明に依拠する、トーナーによって確立された明示的誤差項を伴う有効なサトウ＝ターティング定理を用いる。
• サトウ＝ターティング測度 $\mu_{ST}$ における $L^2([−1,1], \mu_{ST})$ 内のチェビシェフ多項式の正規直交基底 $\{U_n(t)\}$ を用い、サトウ＝ターティング測度における区間の特性関数を近似する。
• 部分和と指数和の推定を用いて、$n \ll \sqrt{\log x / \log(kq \log x)}$ の範囲で、$\left| \sum_{x < p \leq 2x} U_n(\cos \theta_p) \right|$ の和を上から抑える。誤差項は有効である。
• これらの境界を用いて、$|\cos \theta_p|$ がゼロのまわりの収縮する区間に位置する素数 $p$（アトキン＝セールのため）または $\pm 1$ に近い区間に位置する素数 $p$（極値性のため）の数を推定する。
• テイラー展開を用いて小さな区間のサトウ＝ターティング測度を推定し、素数定理 $\pi(2x) - \pi(x) \sim x / \log x$ と組み合わせる。
• 有効なサトウ＝ターティング定理の誤差項と多項式近似、和の境界を組み合わせることで、例外的集合に対する有効な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数重さ $k \geq 2$ の非-CM 新形式に対して、100% の素数がアトキン＝セール予想を満たすか？
• RQ2 アトキン＝セール予想が予測する最小値に達する素数 $p$ の数に対する有効な上界は何か？
• RQ3 極値素数（$|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$ を満たす素数）は有限個しか存在しないか？
• RQ4 有効なサトウ＝ターティング定理を用いて、新形式のフーリエ係数の例外的集合の大きさに対する条件なしで有効な境界を導出できるか？
• RQ5 $|a_f(p)|$ が最大である素数の定量的密度は何か？

主な発見

• 任意の非-CM ホロモーフィックカスピダル新形式（偶数重さ $k \geq 2$）に対して、$|a_f(p)| \leq 2p^{(k-1)/2} \cdot \frac{\log \log p}{\sqrt{\log p}}$ を満たす素数 $p$ の集合は密度ゼロであり、$x \geq 3$ のとき有効な上界 $c_1 \frac{x \log(kq \log x)}{(\log x)^{3/2}}$ を持つ。
• アトキン＝セール予想 $|a_f(p)| \geq c_{\varepsilon,f} p^{(k-3)/2 - \varepsilon}$ は、100% の素数に対して条件なしに成立し、有効な例外的集合の大きさを伴う。
• 区間 $x < p \leq 2x$ 内の極値素数（$|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$）の数は、$x \geq 16$ のとき $c_3 \frac{x (\log(kq \log x))^2}{(\log x)^2}$ 未満であり、このような素数は密度ゼロであることを示す。
• アトキン＝セールの下界に対する例外的集合は有効に上界が与えられており、その上界は $k$、$q$、$x$ に明示的に依存し、$\log x$ の任意のべきよりも速く減少する。
• 証明により、極値素数は極めてまれであり、その数は $x$ の任意の正のべきよりも遅く増加することが確認され、実際には 0% の素数が極値であることが示された。
• 結果は条件なしで有効であり、ニュートン＝ターンの対称べきのモジュラリティとトーナーの有効なサトウ＝ターティング定理に依拠しており、明示的な定数 $c_1, c_3 > 0$ を得ている。