[論文レビュー] Almost automorphic funtions on time scales and almost automorphic solutions to shunting inhibitory cellular neural networks on time scales

Yongkun Li, Bing Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ほぼ周期的時刻スケールの新しい概念を導入し、これらのスケール上でのほぼ自己同型関数を定義し、時刻スケール上での時間変動遅れを伴うシャウンティング抑制型セルラー神経ネットワークに対するほぼ自己同型解の存在およびグローバル指数的安定性に関する条件を確立する。主な貢献は、微分方程式および差分方程式の結果を統一的かつ拡張する新しいフレームワークの構築であり、指数的二分岐条件の下でほぼ自己同型解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we first propose a new concept of almost periodic time scales, a new definition of almost automorphic functions on almost periodic time scales, and study some their basic properties. Then we prove a result ensuring the existence of an almost automorphic solution for both the linear nonhomogeneous dynamic equation on time scales and its associated homogeneous equation, assuming that the associated homogeneous equation admits an exponential dichotomy. Finally, as an application of our results, we establish the existence and global exponential stability of almost automorphic solutions to a class of shunting inhibitory cellular neural networks with time-varying delays on time scales. Our results about the shunting inhibitory cellular neural network with time-varying delays on time scales are new even for the both cases of differential equations(the time scale $\mathbb{T}=\mathbb{R})$ and difference equations(the time scale $\mathbb{T}=\mathbb{Z})$.

研究の動機と目的

• 周期的構造を超えた、より一般的なほぼ周期的時刻スケールの概念を、より制限の少ない形で定義すること。
• 新しいほぼ周期的時刻スケール上でのほぼ自己同型関数を定義し、その基本的性質を検討すること。
• 同次方程式が指数的二分岐を示す場合に、時刻スケール上での線形非同次動的方程式がほぼ自己同型解を有する条件を確立すること。
• 理論的結果を応用して、時刻スケール上での時間変動遅れを伴うシャウンティング抑制型セルラー神経ネットワークにおけるほぼ自己同型解の存在およびグローバル指数的安定性を証明すること。
• 従来の研究における制限を克服し、周期的でないが構造的な時刻スケールにまで一般化された、より広いクラスの時刻スケールに適用可能な結果を導出すること。

提案手法

• シフト集合 Π を用いた新しいほぼ周期的時刻スケールの定義を提案し、周期的でないが構造的な時刻スケールを許容する。
• 翻訳の逐次極限を用いて、これらの時刻スケール上でのほぼ自己同型関数を定義し、古典的なほぼ自己同型性を一般化する。
• 有界で安定な解を保証するため、関連する同次方程式の指数的二分岐性を主要仮定とする。
• パラメータの変動による公式を用いた固定点議論を構築し、非同次方程式に対するほぼ自己同型解の存在を証明する。
• 理論的枠組みを、時刻スケール上での時間変動遅れを伴うシャウンティング抑制型セルラー神経ネットワークのクラスに適用する。
• 明示的な行列および関数の有界性を用いて (H1)–(H3) の条件を検証し、定理 5.1 および 5.2 を適用して存在性および安定性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的でないが構造的な時刻スケールを含む、より一般なほぼ周期的時刻スケールの概念を定義することは可能か？
• RQ2 これらの新しいほぼ周期的時刻スケール上でのほぼ自己同型関数を厳密に定義する方法は何か？ また、その主要な解析的性質は何か？
• RQ3 同次方程式が指数的二分岐を示す場合に、時刻スケール上での線形非同次動的方程式がほぼ自己同型解を有する条件は何か？
• RQ4 ほぼ自己同型解の理論を、時刻スケール上での時間変動遅れを伴うシャウンティング抑制型セルラー神経ネットワークに適用可能か？
• RQ5 このようなニューラルネットワークにおけるほぼ自己同型解は、グローバルに指数的に安定か？

主な発見

• 本稿では、周期的であるよりも一般な時刻スケールのクラスを成功裏に定義し、より広範な応用を可能にした。
• 時刻スケール上でのほぼ自己同型関数の新しい定義を提案した。これは従来の定義を一般化し、周期的でないが再発的な挙動を許容する。
• 同次方程式が指数的二分岐を示すという仮定の下で、時刻スケール上での線形非同次動的方程式に対して、ほぼ自己同型解の存在が証明された。
• 時間変動遅れを伴うシャウンティング抑制型セルラー神経ネットワークに対して、集合 {φ ∈ ℬ : ||φ||_ℬ ≤ ρ} におけるちょうど一つのほぼ自己同型解が存在することが確立された。ここで ρ = 1 である。
• ほぼ自己同型解がグローバルに指数的に安定であることが示され、数値的有界性を用いて (H1)–(H3) の条件を検証した。
• 微分方程式の場合（𝕋 = ℝ）および差分方程式の場合（𝕋 = ℤ）という特殊ケースにおいても、本結果は新規であり、分野における先行研究を拡張している。