[論文レビュー] Almost Cohen-Macaulay algebras in mixed characteristic via Fontaine rings

Kazuma Shimomoto|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値 $p>0$ における完全局域環の絶対整閉包を用いて、Fontaine環とウィットベクトルを用いて弱くほとんどコhen＝マカウレー代数を構成する。主な結果は、パラメータ系が弱くほとんど正則になることであり、値論的制御の意味で $p$ がほとんど正則であることを示しており、単項式予想への新しいアプローチを提供する。

ABSTRACT

In the present paper, it is proved that any complete local domain of mixed characteristic has a weakly almost Cohen-Macaulay algebra in the sense that some system of parameters is a weakly almost regular sequence, which is a notion defined via a valuation. The central idea of this result originates from the main statement obtained by Heitmann to prove the Monomial Conjecture in dimension 3. In fact, A weakly almost Cohen-Macaulay algebra is constructed over the absolute integral closure of a complete local domain by applying the methods of Fontaine rings and Witt vectors. A connection of the main theorem with the Monomial Conjecture is also discussed.

研究の動機と目的

• 完全局域環の混合特徴値 $p>0$ における弱くほとんどコhen＝マカウレー代数の存在を確立すること。
• 値論的ほとんど正則性を用いた単項式予想への新しい手法を提供すること。
• Fontaine環の構成を用いて、ヘイトマンの次元3結果を高次元へ拡張すること。
• ほとんど正則性と絶対整閉包の構造との関係を明らかにすること。
• 追加の分離性または値論的条件のもとで、このような代数がビッグ・コhen＝マカウレー代数へ写像可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 混合特徴値における完全局域環 $R$ の絶対整閉包 $R^+$ に関連する Fontaine環 $\mathbf{E}(R^+)$ を用いる。
• $\mathbf{E}(R^+)$ 上の完全代数を構成し、それをウィットベクトル環 $W(\mathbf{E}(R^+))$ に上げる。
• ウィットベクトルの理論を用いて、完全代数を特徴値0の設定に持ち上げ、ほとんど正則性を解析可能にする。
• $R^+$ 上の値 $v$ を用いて弱くほとんど正則性を定義し、任意に小さい値を持つ要素が特定のコロンイデアルを零化することを要請する。
• Fontaine環を用いて問題を正の特徴値に還元し、既知の完全代数と正則列に関する結果を活用する。
• $\widehat{B}$ の構造を用いて、$\bigcap_{n>0}(p,x_2,\ldots,x_d)^n\widehat{B} = 0$ を示し、強い分離性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fontaine環とウィットベクトルを用いて、混合特徴値における完全局域環上に弱くほとんどコhen＝マカウレー代数を構成可能か？
• RQ2 そのような代数において、値論的制御の意味で $p$ がほとんど正則になるか？
• RQ3 この構成が、混合特徴値における単項式予想の証明に繋がるか？
• RQ4 $v(p^\epsilon) > 0$ がすべての $\epsilon > 0$ に対して成り立つならば、$p^\epsilon \notin (p,x_2,\ldots,x_d)B$ が成り立つか？
• RQ5 $B/{\mathfrak{m}}B$ がほとんどゼロでなくなる条件は何か？これにより代数が自明に退化しないことが保証される。

主な発見

• $p,x_2,\ldots,x_d$ が弱くほとんど正則であるような $R^+$-代数 $B$ が構成される。任意の $\epsilon > 0$ に対して、すべての $i$ について $v(b) < \epsilon$ かつ $b \cdot \frac{(x_1,\ldots,x_i)B :_B x_{i+1}}{(x_1,\ldots,x_i)B} = 0$ を満たす。
• イデアル $(0:_B p)$ はすべての $\epsilon > 0$ に対して $p^\epsilon$ で零化され、$p$ が値論的意味でほとんど正則であることが示される。
• 代数 $B$ は $(p,x_2,\ldots,x_d)B \neq B$ を満たしており、パラメータ系が単位イデアルを生成しないことが保証される。
• 完成化代数 $\widehat{B}$ は $\bigcap_{n>0}(p,x_2,\ldots,x_d)^n\widehat{B} = 0$ を満たしており、強い分離性が示される。
• 構成は、$\mathbf{E}(R^+}$ 上の完全代数をウィットベクトル環に持ち上げることで行われ、望ましい正則性の性質が保存される。
• 系6.3は、値 $v: B \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ が $v(ab) = v(a)+v(b)$、$v(a+b) \geq \min\{v(a),v(b)\}$、非単元に対して $v(b) > 0$ を満たすならば、$B$ がビッグ・コhen＝マカウレー代数へ写像可能であることを示している。