[論文レビュー] Almost-Commutative Geometry, massive Neutrinos and the Orientability Axiom in KO-Dimension 6

Christoph A. Stephan|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 18被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何における内部空間のKO次元を6に設定することの意味を検討し、フェルミオンの二重化問題を解決するとともに、右巻きニュートリノのメジャナ型質量項を可能にする。KO次元6では、特に右巻きニュートリノに対して、方向性公理の破れが生じることを示し、3つの行列幾何（2つはお手本モデル、1つは拡張された最小標準模型）を提示する。これらは、非可換幾何の非方向性を明示的に実現しており、物理的には重い右巻きニュートリノのメジャナ性と関連している。

ABSTRACT

In recent publications Alain Connes [1] and John Barrett [2] proposed to change the KO-dimension of the internal space of the standard model in its noncommutative representation [3] from zero to six. This apparently minor modification allowed to resolve the fermion doubling problem [4], and the introduction of Majorana mass terms for the right-handed neutrino. The price which had to be paid was that at least the orientability axiom of noncommutative geometry [5,6] may not be obeyed by the underlying geometry. In this publication we review three internal geometries, all three failing to meet the orientability axiom of noncommutative geometry. They will serve as examples to illustrate the nature of this lack of orientability. We will present an extension of the minimal standard model found in [7] by a right-handed neutrino, where only the sub-representation associated to this neutrino is not orientable.

研究の動機と目的

• 非可換幾何における内部空間のKO次元を0から6に引き上げたときの物理的および幾何的結果を検討すること。
• 質量を有する右巻きニュートリノを含むモデルにおいて、非可換幾何の方向性公理がなぜ失敗するのかを調査すること。
• KO次元6における明示的な有限スペクトル三重項の構築。特に右巻きレプトン系において、この非方向性を実現すること。
• このような幾何が見せたスレッダー機構と物理的要請であるメジャナ質量項と両立可能かどうかを検討すること。
• 方向性の破れが物理的に許容可能かどうかを、右巻きニュートリノのメジャナ性と、ニュートリノなし二重ベータ崩壊のような実験的シグネチャーを踏まえて評価すること。

提案手法

• KO次元6の3つの有限スペクトル三重項を構築。それぞれが行列代数の分解（2、3、または4つの和項）を持つことで、異なる粒子内容をモデル化する。
• 標準的な実数的有限スペクトル三重項の枠組みを用いる：代数A、ヒルベルト空間H、ディラック作用素D、実構造J、およびチャイラリティχ。
• 代数的K理論の枠組みで、方向性公理の失敗を、非退化なホッフシュレッヒ6次コホホロジーの存在を確認することで分析する。
• 拡張された最小標準模型に右巻きニュートリノをメジャナ質量項とともに導入し、このセクターのみが方向性を破ることを示す。
• KO次元6のモデルと標準的なKO次元0のケースを比較し、フェルミオンの二重化が解消され、メジャナ質量が出現することを強調する。
• ゲージ不変性の観点からメジャナ質量が妥当であるか、およびスペクトル作用原理と両立するかを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KO次元を0から6に引き上げることで、非可換幾何においてフェルミオンの二重化問題はどのように解決されるか？
• RQ2 KO次元6に設定したとき、なぜ右巻きニュートリノに対してのみ方向性公理が失敗するのか？
• RQ3 質量を有する右巻きニュートリノとメジャナ質量項を含む一貫性のある非可換幾何的モデルを構築できるか？
• RQ4 メジャナ粒子が自身の反粒子であるという性質を踏まえると、方向性公理の破れの物理的解釈は何か？
• RQ5 提案されたモデルは、粒子内容、ゲージ不変性、実験的制約との両立性において、最小標準模型とどのように比較できるか？

主な発見

• KO次元を6に設定することで、右巻きニュートリノにメジャナ質量項を導入できるが、これは標準的なKO次元0の枠組みでは不可能である。
• メジャナ質量項を導入した場合、方向性公理は右巻きレプトン系においてのみ失敗する。これは、方向性のためのホッフシュレッヒコホモロジー条件が満たされないためである。
• 4つの行列和項を持つ拡張された最小標準模型は、ゲージ不変なメジャナ質量項を有する右巻きニュートリノをうまく統合し、物理的でないレプトクォーク項を回避する。
• 右巻きニュートリノ系における方向性の破れにもかかわらず、スペクトル作用原理と第一階層の公理と両立するモデルが維持される。
• 方向性の破れは物理的に妥当である。右巻きニュートリノが自身の反粒子であるというメジャナ性と整合しており、低エネルギー有効記述としての整合性を示唆する。
• ニュートリノなし二重ベータ崩壊の実験的確認は、KO次元0のモデルを除外し、本研究で提示された非方向的幾何（非可換幾何）の使用を必然的にする。