[論文レビュー] Almost commuting elements in compact Lie groups

Armand Borel, Robert Friedman+1 more|ArXiv.org|Jul 1, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、コンパクトで単連結なリー群内のほぼ可換な要素の対および三つ組を分類し、ホロノミー表現とチャーン・サイモンズ不変量を用いてそのモジュライ空間に焦点を当てる。Wittenの「時計回りの対称性予想」を、モジュライ空間における位数$k$の成分と$mathbb{R}/\mathbb{Z}$における位数$k$の点との間で、チャーン・サイモンズ不変量が全単射を誘導することを示すことによって証明する。特に、非巡回的$langle C angle$に対して成立する。分類は、ルート系、ワイル群、および拡張されたディンキン図の自己同型に依存する。

ABSTRACT

We describe the components of the moduli space of conjugacy classes of commuting pairs and triples of elements in a compact Lie group. This description is in terms of the extended Dynkin diagram of the simply connected cover, together with the coroot integers and the action of the fundamental group. In the case of three commuting elements, we compute Chern-Simons invariants associated to the corresponding flat bundles over the three-torus, and verify a conjecture of Witten which reveals a surprising symmetry involving the Chern-Simons invariants and the dimensions of the components of the moduli space.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元トーラス上の主バンドルにおける平坦接続の同型類をホロノミー表現を用いて分類すること。
• 群論的および幾何的不変量を用いて、コンパクトで単連結なリー群内のほぼ可換$N$-重組みを特徴づけること。
• 3次元トーラス上の平坦$G$-バンドルのモジュライ空間におけるチャーン・サイモンズ不変量に関して、Wittenの「時計回りの対称性予想」を証明すること。
• モジュライ空間の成分とチャーン・サイモンズ不変量の$mathbb{Z}$を法とする値との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 平坦バンドルの分類を、コンパクトな半単純群$K$の単連結被覆$G$におけるほぼ可換$N$-重組みの分類に翻訳するために、ホロノミー表現を用いる。
• 群$G$の拡張されたディンキン図、$pi_1(K)$の作用、およびコルート整数を用いて、モジュライ空間の構造を特徴づける。
• 固定部分空間上のワイル群$W(S,G)$とルート系を用いて、中心化群と成分群を分析する。
• 群コホモロジーと成分群の計算を用いて、自己同型$sigma$に対して$pi_0(Z(x,y))$と$pi_0(H^\sigma)$を研究する。
• 平坦接続と曲率形式を用いてチャーン・サイモンズ不変量を計算し、$c$-三重組と$C$-三重組の構造と関連付ける。
• コホモロジーにおける基本方程式と準同型$delta$を用いて、成分群とルート系および一般化されたカルタン行列との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで単連結なリー群内のほぼ可換$N$-重組みは、同時に共役化の下でどのように分類されるか？
• RQ2 2次元および3次元トーラス上の平坦$G$-バンドルのモジュライ空間の構造は何か？ また、チャーン・サイモンズ不変量とどのように関係するか？
• RQ3 方向の反転および被覆写像の下でチャーン・サイモンズ不変量はどのように振る舞い、成分構造にどのような含意をもたらすか？
• RQ4 中心化群の成分群と、ルート系に関連する一般化されたカルタン行列との正確な関係は何か？
• RQ5 群$G$の自己同型群は、ランク0の$c$-三重組および$C$-三重組の空間にどのように作用するか？

主な発見

• チャーン・サイモンズ不変量は、モジュライ空間${\cal T}_G(C)$における位数$k$の成分と、$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$における位数$k$の点との間で全単射を誘導する。ここで、$k$は4を割り切る正の整数である。
• ${\langle C\rangle}$が巡回的である場合、位数4の2つの成分において、チャーン・サイモンズ不変量は$\pm 1/4 \mod \mathbb{Z}$をとるが、反対側の成分では符号が逆転する。
• $c_0$-三重組$\hat{\bf u} = (u,v,w^2)$は、$c_0$-三重組のモジュライ空間の非自明な成分に属するが、$\hat{\bf x} = (x,y,z^2)$は自明な成分に属する。
• 方向の反転の下で、チャーン・サイモンズ不変量は$\mathrm{CS}(r^*\Gamma) \equiv -\mathrm{CS}(\Gamma) \mod \mathbb{Z}$を満たし、時間反転における対称性が確認される。
• $H^\sigma$の成分群は、準同型$delta$と制限されたルート系のトーラスを用いて計算され、$\mathrm{Tor}((\Lambda/Q^\vee_H)_\sigma)$と関連づけられる。
• 非巡回的$\langle C\rangle$に対して、補題12.3.1および補題12.3.6と12.3.9の成分数の計算と、補題12.4.4を用いて、Wittenの「時計回りの対称性予想」の証明が完了する。