[論文レビュー] Almost commuting matrices with respect to normalized Hilbert-Schmidt norm

Lev Glebsky|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、正規化されたヒルベルト＝シュミットノルムにおいてほとんど可換である自己随伴、ユニタリ、正規行列が、一様に真に可換な行列に近いことを確立している。ブロック対角近似と凹ノルム推定を用いて、$ Vert AB - BA Vert_{ ext{tr}} \leq \delta$ ならば、正規化されたトレースノルムで $O(\epsilon^{1/6})$ の誤差内で可換な行列が存在する一様な $\delta(\epsilon)$ 界が得られ、このノルム下でこれらの行列クラスに対して一様なほぼ可換問題が肯定的に解決された。

ABSTRACT

Almost-commuting matrices with respect to the normalized Hilbert-Schmidt norm are considered. Normal almost commuting matrices are proved to be near commuting.

研究の動機と目的

• 正規化されたヒルベルト＝シュミットノルム下で、自己随伴、ユニタリ、正規行列に対する一様なほぼ可換行列問題を解決すること。
• このノルム下で、ほとんど可換である行列が、行列サイズ $n$ に依存せずに一様に真に可換な行列に近いかどうかを特定すること。
• 可換子ノルムを用いて、可換な行列への距離に関する明示的な定量的境界を提供すること。
• 極分解とスペクトル近似を用いて、複数のほぼ可換行列および正規行列への結果の拡張。

提案手法

• 行列を対角形に変換し、$\tilde{A}$ の各ブロックが単位行列のスカラー倍であるようなブロック対角行列で近似する。
• ブロック分解における正規化されたヒルベルト＝シュミットノルムの平方の凸性を用いて、近似誤差を制御する。
• 凹関数 $\phi$ に対して $\phi^2(\sqrt{x})$ の凹性に基づく凹推定原理を適用し、誤差項を評価する。
• 正規化されたトレースノルムで $\|PA\|_{\text{op}} < \sqrt{\|A\|_{\text{tr}}}$ および $\|E-P\|_{\text{tr}} < \sqrt{\|A\|_{\text{tr}}}$ を満たす直交射影 $P$ を構成し、作用素ノルムおよびトレースノルムでの誤差を小さく保証する。
• トレースノルムと行列成分との関係を表す $\|A\|_{\text{tr}}^2 = \langle A, A \rangle = \frac{1}{n} \sum_{i,j} |A_{ij}|^2$ を用いる。
• 不等式 $\|A\|_{\text{op}} \leq \sqrt{n} \|A\|_{\text{tr}}$ およびランクに基づく境界を用いて、部分行列ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の自己随伴行列 $H_1, H_2$ に対して、$\|[H_1, H_2]\|_{\text{tr}} \leq \delta$ ならば、$n$ に依存しない一様な $\delta(\epsilon)$ が存在し、$\|H_i - A_i\|_{\text{tr}} \leq \epsilon$ を満たす可換な行列 $A_1, A_2$ が存在するか？
• RQ2 ユニタリおよび正規行列に対しても、同じ一様近似結果が正規化されたヒルベルト＝シュミットノルム下で拡張可能か？
• RQ3 正規化されたヒルベルト＝シュミットノルムは、特に正規行列に対して、作用素ノルムよりも強い「ほぼ可換→真に可換」の結果を可能にするか？
• RQ4 複数のほぼ可換な自己随伴行列が、$O(\epsilon^{1/6})$ の誤差で同時に可換な族に近似可能か？
• RQ5 ほぼ正規行列 $M$ に対して、$\|MM^* - M^*M\|_{\text{tr}} \leq \epsilon$ ならば、$\|N\|_{\text{op}} \leq \|M\|_{\text{op}} \leq 1$ を満たす正規行列 $N$ が存在し、正規化されたトレースノルムで $O(\epsilon^{1/18}})$ の誤差内で近似可能か？

主な発見

• 自己随伴行列に対して、$\|[H_1, H_2]\|_{\text{tr}} \leq \epsilon$ ならば、可換な自己随伴行列 $A_1, A_2$ が存在し、$\|H_i - A_i\|_{\text{tr}} \leq 12\epsilon^{1/6}$ が成り立つ。
• この結果は $k$-重のほぼ可換な自己随伴行列へ拡張可能であり、$\|H_i - A_i\|_{\text{tr}} \leq \delta(\epsilon,k)$ で、$\epsilon \to 0$ のとき $\delta(\epsilon,k) \to 0$ となる。
• ユニタリおよび正の行列に対して、$\|[U,H]\|_{\text{tr}} \leq \epsilon$ ならば、可換な $V, A$ が存在し、$\|U - V\|_{\text{tr}} \leq 30\epsilon^{1/9}$ および $\|H - A\|_{\text{tr}} \leq 30\epsilon^{1/9}$ が成り立つ。
• ほぼ正規行列 $M$ で $\|MM^* - M^*M\|_{\text{tr}} \leq \epsilon$ ならば、$\|N\|_{\text{op}} \leq \|M\|_{\text{op}} \leq 1$ を満たす正規行列 $N$ が存在し、正規化されたトレースノルムで $36\epsilon^{1/18}}$ の誤差内で近似可能である。
• 正規化されたヒルベルト＝シュミットノルムは、自己随伴、ユニタリ、正規行列のすべてのクラスに対して一様なほぼ可換結果を可能にするが、作用素ノルムではユニタリおよび正規行列に対してはその結果が成り立たない。
• 証明は、ブロックノルムの凸性と凹推定を用いる初等的手法に依拠しており、深い関数解析や非可換幾何学を避けており、その結果が成立する。