[論文レビュー] Almost-commuting variety, D-modules, and Cherednik Algebras

Wee Liang Gan, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Sep 15, 2004

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$n \times n$ 行列 $X,Y$、ベクトル $i \in \mathbb{C}^n$、$j \in \mathbb{C}^n$ に対して $[X,Y] + ij = 0$ を満たすほぼ可換な多様体 $\mathscr{M}$ を研究し、それが次元 $n+1$ の既約成分をもつ、$n^2 + 2n$ 次元の、非特異的完全交差であることを示している。また、その零元部分多様体 $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ に台を持つ $\mathscr{D}$-加群の圏 $\mathscr{C}$ を定義し、有理的チェレドニク代数の $\mathcal{O}$-圏への量子ハミルトニアン還元関手を構成することで、幾何的表現論とシンプレクティック特異点の間の関係を確立している。

ABSTRACT

We study a scheme M closely related to the set of pairs of n by n-matrices with rank 1 commutator. We show that M is a reduced complete intersection with n+1 irreducible components, which we describe. There is a distinguished Lagrangian subvariety Nil in M. We introduce a category, C, of D-modules whose characteristic variety is contained in Nil. Simple objects of that category are analogous to Lusztig's character sheaves. We construct a functor of Quantum Hamiltonian reduction from category C to the category O for type A rational Cherednik algebra.

研究の動機と目的

• 多様体 $\mathscr{M} = \{(X,Y,i,j) \mid [X,Y] + ij = 0\}$ の幾何的構造を理解すること。
• 多様体 $\mathscr{M}$ のスキーム的性質、特にその既約成分、非特異性、次元を分析すること。
• $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ に含まれる特性多様体をもつ正則 $\mathscr{D}$-加群の圏 $\mathscr{C}$ を定義し、研究すること。
• $\mathscr{C}$ から有理的チェレドニク代数のタイプ $A$ の $\mathcal{O}$-圏への量子ハミルトニアン還元関手を構成すること。
• 多様体 $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ 上の $\mathscr{D}$-加群を用いた、キャラクター層の類似の幾何的実現を確立すること。

提案手法

• $\mathscr{M}$ を、$J$ が $[X,Y] + ij$ の成分を生成するイデアルであるときの商環 $\mathbb{C}[X,Y,i,j]/J$ のスペクトルとして定義する。
• $\mathscr{M}$ を、交換子のランクと巡回部分空間の次元に基づいて、$k = 0, \dots, n$ でインデックス付けされた既約成分 $\mathscr{M}_k$ に分解する。
• 定義方程式の明示的な代数的および幾何的解析により、$\mathscr{M}$ が次元 $n^2 + 2n$ の非特異的完全交差であることを証明する。
• $Y$ が零ベキであるときの部分多様体 $\mathscr{M}_{\text{nil}} \subset \mathscr{M}$ を特定し、それが $T^*(\mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}^n)$ 内のラグランジュ的完全交差であることを示す。
• $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ に含まれる特性多様体をもつ正則 $\mathscr{D}$-加群の圏 $\mathscr{C}$ を構成し、ルシュティグのキャラクター層に類似させる。
• $G$-可換な $\mathscr{D}$-加群構造と、$\mathbb{C}[\mathbf{y}]^{S_n} \to \mathbb{C}[\mathscr{M}]$ による射 $\pi^*$ を用いて、$\mathscr{C}$ から有理的チェレドニク代数の $\mathcal{O}$-圏への量子ハミルトニアン還元を関手的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ可換多様体 $\mathscr{M} = \{(X,Y,i,j) \mid [X,Y] + ij = 0\}$ のスキーム的構造は何か？
• RQ2 $\mathscr{M}$ はいくつの既約成分をもち、それらの幾何的および表現論的記述は何か？
• RQ3 零元部分 $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ は、コタングェントバンドル $T^*(\mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}^n)$ 内でラグランジュ的か？
• RQ4 $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ 上の $\mathscr{D}$-加群の圏を、ルシュティグのキャラクター層に類似する性質をもつように定義できるか？
• RQ5 有理的チェレドニク代数の $\mathcal{O}$-圏への $\mathscr{C}$ からの量子ハミルトニアン還元は、単純加群の幾何的実現を持つ正確な関手か？

主な発見

• $\mathscr{M}$ は次元 $n^2 + 2n$ の非特異的完全交差であり、$n+1$ 個の既約成分 $\mathscr{M}_0, \dots, \mathscr{M}_n$ をもつ。
• $Y$ が零ベキであると定義される多様体 $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ は、$T^*(\mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}^n)$ 内のラグランジュ的完全交差である。
• $\mathscr{M}_{\text{nil}}$ に含まれる特性多様体をもつ正則 $\mathscr{D}$-加群の圏 $\mathscr{C}$ には、ルシュティグのキャラクター層に類似した単純対象が存在する。
• 有理的チェレドニク代数の $\mathcal{O}$-圏への $\mathscr{C}$ からの量子ハミルトニアン還元関手は正確である。
• $\mathbb{C}[\mathscr{M}]$ は、写像 $(X,Y,i,j) \mapsto \text{Spec}(Y)$ によって誘導される射 $\pi^*$ を通じて、対称代数 $\mathbb{C}[\mathbf{y}]^{S_n}$ 上の自由加群である。
• すべての $k \geq 1$ に対して、$\mathbb{C}[\mathscr{M}]^{(k)}$ は $G$-作用の平坦性と完全可約性により、$\mathbb{C}[\mathbf{y}]^{S_n}$-加群として自由である。