[論文レビュー] Almost conformal transformation in a class of Riemannian manifolds

Georgi Dzhelepov, Dimitar Razpopov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、巡回的計量とアフィノル構造を備えた3次元リーマン多様体に、ほぼコンフォーマル変換を導入し、逐次的にほぼコンフォーラルに関連する巡回的計量の無限列を生成する。主な結果は、この変換の下で、ベクトルとそのアフィノル構造による像の間の角度が0に収束することを示しており、極限において幾何的整合性が得られることを示している。

ABSTRACT

We consider a 3-dimensional Riemannian manifold V with a metric g and an affinor structure q. The local coordinates of these tensors are circulant matrices. In V we define an almost conformal transformation. Using that definition we construct an infinite series of circulant metrics which are successively almost conformaly related. In this case we get some properties.

研究の動機と目的

• 巡回的計量とアフィノル構造を備えた3次元リーマン多様体のクラスにおけるほぼコンフォーラル変換を定義し、その解析を行う。
• 元の計量と導出されたテンソル場の線形結合により、逐次的にほぼコンフォーラルに関連する計量の無限列を構成する。
• この変換プロセスにおける、ベクトルとそのアフィノル変換による像の間の角度の挙動を調査する。
• 新しい計量と関連する接続がアフィノル構造を保存するための条件を確立する。
• 反復的変換の極限において、ベクトルとそのアフィノル像の間の角度が0に収束することを証明する。

提案手法

• 計量 $ g $ とアフィノル $ q $ から導出されるテンソル $ f $ を用いて、$ g_1 = \alpha g + \beta f $ と定義される線形結合によるほぼコンフォーラル変換を定義する。ここで $ \alpha $, $ \beta $ は滑らかな関数である。
• 計量 $ g $、アフィノル $ q $、および導出テンソル $ f $ に対して巡回行列構造を用い、対称性と代数的整合性を保証する。
• 再帰関係 $ g_n = \alpha g_{n-1} + \beta f_{n-1} $ を用いて、直前の計量とその関連する $ f $-テンソルに基づく無限列の計量を生成する。
• 接続 $ \dot{\nabla} $ が計量 $ g_n $ に対してアフィノル構造 $ q $ を保存するための必要十分条件として、$ \text{grad}\,\alpha = \text{grad}\,\beta \cdot S $ を示す。ここで $ S $ は対称行列である。
• ベクトル $ w $ と $ qw $ の間の角度 $ \varphi_n $ の余弦に関する再帰関係 $ \cos\varphi_n = \frac{\beta + (\alpha + \beta)\cos\varphi_{n-1}}{\alpha + 2\beta \cos\varphi_{n-1}} $ を導出する。
• 数学的帰納法と $ \cos\varphi_n $ の単調増加性を用いて、$ n \to \infty $ のとき $ \varphi_n \to 0 $ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼコンフォーラル変換が、Levi-Civita接続に関してアフィノル構造の平行性を保存するための条件は何か？
• RQ2 ほぼコンフォーラル変換を繰り返し適用した場合、ベクトルとそのアフィノル像の間の角度はどのように変化するか？
• RQ3 変換を無限に反復した場合、ベクトルとそのアフィノル像の間の角度の極限的挙動は何か？
• RQ4 この変換は、初期に正定値計量が与えられた場合、正定値計量の列を生成できるか？
• RQ5 最初の変換における角度 $ \varphi $ と $ \varphi_1 $ の関係は何か？ そして、これは高次の反復にどのように一般化されるか？

主な発見

• ほぼコンフォーラル変換 $ g_1 = \alpha g + \beta f $ がLevi-Civita接続に関してアフィノル構造 $ q $ の平行性を保存するための必要十分条件は、$ \text{grad}\,\alpha = \text{grad}\,\beta \cdot S $ であり、ここで $ S $ は固定された対称行列である。
• $ g $ が正定値で $ 0 < \beta < \alpha $ である限り、計量 $ g_1 $ も正定値であり、変換の幾何的整合性が保証される。
• ベクトル $ w $ と $ qw $ の間の角度 $ \varphi_n $ の余弦は再帰関係 $ \cos\varphi_n = \frac{\beta + (\alpha + \beta)\cos\varphi_{n-1}}{\alpha + 2\beta \cos\varphi_{n-1}} $ に従い、これは厳密に増加し、1より小さい上界を持つ。
• $ \cos\varphi_n $ の列は1に収束するため、$ \varphi_n \to 0 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立ち、ベクトル $ w $ と $ qw $ の間の角度は極限で消える。
• 最初の変換において、$ \varphi_1 = \frac{\pi}{2} $ であるための必要十分条件は $ \varphi = \arccos\left(-\frac{\beta}{\alpha + \beta}\right) $ であり、逆に $ \varphi = \frac{\pi}{2} $ であるための必要十分条件は $ \varphi_1 = \arccos\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) $ である。これは角度保存の明確な双対性を示している。
• 再帰的関係 $ g_n = \alpha g_{n-1} + \beta f_{n-1} $ により定義される無限列の計量 $ g_n $ は、すべて巡回行列表現を持ち、$ 0 < \beta < \alpha $ のとき正定値のままである。