[論文レビュー] Almost conformally Einstein manifolds and obstructions

A. R. Gover|ArXiv.org|Dec 20, 2004

Advanced Differential Geometry Research被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、トレイクター微分幾何を用いて、共形的エインシュタイン計量への障害を一様な枠組みで構成する手法を確立している。この手法により、平行トレイクターが存在する際の可積分性条件から、このような障害が生じることを示している。主な貢献は、偶数次元多様体に対して、バッチテンソルやフェッファーマン＝グラハム障害テンソルを一般化した、鋭い共形不変障害を体系的に導出したことである。これらのテンソルが消えることは、ほぼ共形的エインシュタイン構造であるための必要十分条件であることが証明された。

ABSTRACT

A Riemannian or pseudo-Riemannian (or conformal) structure is conformally Einstein if and only if there is a suitably generic parallel section of a certain vector bundle -- the so-called standard conformal tractor bundle. We show that this characterisation leads to a systematic approach to constructing obstructions to conformally Einstein metrics. Relaxing the requirement that the parallel tractor field be generic gives a natural generalisation of the Einstein equations.

研究の動機と目的

• リーマン的または擬リーマン的多様体が共形的にエインシュタイン計量に接続可能であるための均一的で幾何的な障害の構成法を開発すること。
• 平行トレイクターの一般性に関する要件を緩和することで、エインシュタイン条件を一般化し、ほぼエインシュタイン構造の概念を導入すること。
• 共形エインシュタイン計量上で消える共形不変量が、ほぼ共形的エインシュタイン計量に対しても消えることを示し、それらの障害によって後者を特徴づけること。
• トレイクター微分幾何を用いて、フェッファーマン＝グラハム障害テンソルが共形的エインシュタイン計量上で消えることの、新しい直接的証明を提供すること。
• 従来の処理を超えて、Weyl曲率が単射である弱い一般性条件を満たす計量を含む、鋭い障害が存在する計量のクラスを拡張すること。

提案手法

• 標準共形トレイクター bundle 及びその自然接続を用いて、エインシュタイン条件を適切に一般性を持つ平行切断の存在として再定式化する。
• プロロングテクニックを適用し、トレイクター接続を介してエインシュタイン方程式を一階の共形不変系に変換する。
• トレイクター bundle 内での Weyl 曲率テンソルの対称性を用いて、トレイクター値 Weyl テンソルに作用する共形不変作用素 $\Box_{n/2-2}$ を定義する。
• トレイクター場 $\mathbb{I}^A = \frac{1}{n}D^A\sigma$ との縮約を用いて、共形不変でトレースフリーかつ対称な 2-テンソル $\mathcal{B}^{(n)}_{ab}$（共形重み $2-n$）の族を障害として構成する。
• トレイクター bundle の合成系列を用いて、得られたテンソルの対称性および変換性を分析する。
• エインシュタインスケール $\sigma$ の場合に、$\mathbb{I}^A$ が微分作用素 $\Box_{n/2-2}$ と可換であることから、$\mathcal{B}^{(n)}_{ab}$ が恒等的に消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン的または擬リーマン的多様体が局所的にエインシュタイン計量に共形的に関連づけられるための必要十分条件は何か？
• RQ2 古典的障害（例：バッチテンソル、フェッファーマン＝グラハムテンソル）は、どのように同一の幾何的枠組みから体系的に導出可能か？
• RQ3 平行トレイクターが一般化されたエインシュタイン条件の役割は何か？また、それらはほぼ共形的エインシュタイン構造をどのように特徴づけるか？
• RQ4 これまでの一般性条件を超えて、鋭い障害が存在する計量のクラスを拡張することは可能か？
• RQ5 なぜフェッファーマン＝グラハム障害テンソルは共形的エインシュタイン計量上で消えるのか？また、アーマント度量構成に依存せずにこれを示せるか？

主な発見

• 標準共形トレイクター bundle の適切に一般性を持つ平行切断の存在は、計量がエインシュタインであることと同値であり、共形不変な特徴づけを提供する。
• 平行トレイクターの一般性条件を緩和することで、ほぼエインシュタイン構造という一般化された概念が導かれる。これはエインシュタイン方程式の自然な拡張である。
• 偶数次元多様体に対して、新しい共形不変障害 $\mathcal{B}^{(n)}_{ab}$ の族が構成され、計量がほぼ共形的エインシュタインであるための必要十分条件としてその消滅が成立する。
• $\mathcal{B}^{(n)}_{ab}$ はトレースフリーかつ対称であり、共形重み $2-n$ の密度値 2-テンソルであり、計量、その逆、曲率の共変微分の多項式として表される。
• 任意のエインシュタインスケール $\sigma$ に対して、トレイクター場 $\mathbb{I}^A = \frac{1}{n}D^A\sigma$ は作用素 $\Box_{n/2-2}$ と可換であり、その結果 $\mathcal{B}^{(n)}_{ab}$ がそのスケールで恒等的に消える。
• 共形不変性と連続性より、$\mathcal{B}^{(n)}_{ab}$ はすべてのほぼ共形的エインシュタイン計量上で消えることが保証され、その鋭い障害としての役割が確認される。