[論文レビュー] Almost contact B-metric manifolds as extensions of a 2-dimensional space-form

Hristo Manev|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元のノルデン多様体を2つの方法、すなわちコーン構成と$S^1$-可解拡張を用いて、3次元のほぼ接触B-計量多様体を構成する。結果として得られる多様体をGanchev-Mihova-Gribachev分類において特徴づけ、それらが$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$類に属することを示し、底多様体がケーラー-ノルデン多様体である場合に限り$\fancyscript{F}_4$-多様体であることを確立する。さらに、曲率およびリッチテンソルの関係式を明示的に導出する。

ABSTRACT

The object of investigations are almost contact B-metric manifolds which are derived as a product of a real line and a 2-dimensional manifold equipped with a complex structure and a Norden metric. There are used two different methods for generation of the B-metric on the product manifold. The constructed manifolds are characterised with respect to the Ganchev-Mihova-Gribachev classification and their basic curvature properties.

研究の動機と目的

• 2次元のノルデン多様体を用いた2つの異なる幾何的技法、すなわちコーン構成と$S^1$-可解拡張を用いて、3次元のほぼ接触B-計量多様体を構成すること。
• 結果として得られる多様体を、ほぼ接触B-計量構造の11個の基本クラスを特徴づけるGanchev-Mihova-Gribachev枠組み内で分類すること。
• 底多様体の幾何構造と関連して、断面曲率、リッチテンソル、スカラー曲率を含む曲率の性質を特定すること。
• 拡張された多様体が特定のクラス、特に$\fancyscript{F}_4$に属するための条件を確立し、$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$に属する条件を同定すること。
• 底多様体の幾何構造と拡張パラメータ$t$を用いて、リー形式、曲率成分、スカラー曲率の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 2次元のノルデン多様体$N$（複素構造$J$とノルデン計量$h$を備える）を用いて、積多様体$S^1(N) = S^1 \times N$にほぼ接触B-計量構造を構成する。
• 2つの異なる幾何的拡張、すなわちコーン構成と$S^1$-可解拡張を適用し、それぞれが$S^1(N)$上に異なるB-計量$g$を定義する。その定義には、特定の計量およびほぼ接触構造の式を用いる。
• 接続$\nabla$（$g$のリーマン接続）を用いて、テンソル$F(x,y,z) = g((\nabla_x \theta)y, z)$を計算し、Ganchev-Mihova-Gribachev分類による多様体の分類を実行する。
• 計量成分と曲率テンソルを用いて、リー形式$\theta$、$\theta^*$、$\rho$を計算し、$\fancyscript{F}$-基底における明示的表現を得る。
• 構造方程式と底多様体の曲率$k'$を用いて、曲率成分$R_{ijk\bar{l}}$と断面曲率$k_{ij}$を計算する。特に、$k_{12}$および$k_{13}=k_{23}=1$のケースに注目する。
• リッチテンソル$\rho$、その関連する$\rho^*$、およびスカラー曲率$\tau$、$\tau^*$、$\tau^{**}$を、$k'$と角度パラメータ$t$の関数として表現し、分類と曲率解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のノルデン多様体の$S^1$-可解拡張として得られる3次元のほぼ接触B-計量多様体の、Ganchev-Mihova-Gribachev分類は何か？
• RQ2 ノルデン多様体の$S^1$-可解拡張が、どの条件下で$\fancyscript{F}_4$類に属する多様体を生成するか？
• RQ3 拡張された多様体の曲率成分、断面曲率、リッチテンソルは、底多様体の2次元空間形式の曲率にどのように依存するか？
• RQ4 拡張された多様体のスカラー曲率$\tau$、$\tau^*$、$\tau^{**}$と底多様体の曲率$k'$との関係は何か？
• RQ5 底多様体の幾何構造に応じて、拡張された多様体が$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$型であるのはいつか、$\fancyscript{F}_4$型であるのはいつか？

主な発見

• $S^1$-可解拡張によって得られる2次元ノルデン多様体の3次元のほぼ接触B-計量多様体は、クラス$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$に属する。
• 多様体が$\fancyscript{F}_4$類に属するのは、底多様体$(N,J,h)$がケーラー-ノルデン多様体である場合に限り、これはリー形式$\theta^*$が消えることと特定の曲率条件を満たすことと同値である。
• $\fancyscript{F}$-断面の断面曲率は定数であり、$k_{13} = k_{23} = 1$であるが、$k_{12} = R_{1212}$は$k'$と角度$t$に依存する。
• リッチテンソル$\rho$は$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$型であり、底多様体がケーラー-ノルデンであるとき、$\rho = k'\theta \bigotimes g + (2 - k'\theta)\theta \bigotimes \theta$を満たす。ここで$\theta = \text{Re}(e^{2it})$である。
• スカラー曲率は$\tau = 2(k'\theta + 1)$、$\tau^{**} = 2(k'\theta - 1)$であり、$\theta = \text{Re}(e^{2it}) = \text{Re}(\text{cis}(2t))$と表され、底曲率$k'$と拡張パラメータ$t$に明示的に依存する。
• 底多様体がケーラー-ノルデンであるとき、$\tau^* = 0$かつ$\tau^{**} = \tau - 4$であり、多様体が$\fancyscript{F}_4$型かつ$\fancyscript{F}_1$型であるのは$k' = 0$のときであり、これは$\tau = 2$、$\tau^{**} = -2$に対応する。