[論文レビュー] Almost contact manifolds, connections with torsion and parallel spinors

Thomas Friedrich, Stefan Ivanov|ArXiv.org|Nov 12, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一意的な計量接続 ∇（全歪対称ねじれを保つほぼ接触構造を保存する）を備えた局所的に同一の5次元準サスカリアン多様体で、2次元スピンルーブルバンドル Σ² に ∇-平行スピンルーブル場をもつものを分類する。このようなスピンルーブル場が存在するのは、厳密な幾何的制約のもとでのみであり、コンパクトな場合にトポロジカルな障害が生じることを示し、2番目のキリングスピンルーブル方程式が倍率関数が定数でなければならないことを示し、5次元において解が共形不変性を示すことを示している。

ABSTRACT

We classify locally homogeneous quasi-Sasakian manifolds in dimension five that admit a parallel spinor $ψ$ of algebraic type $F \cdot ψ= 0$ with respect to the unique connection $ abla$ preserving the quasi-Sasakian structure and with totally skew-symmetric torsion. We introduce a certain conformal transformation of almost contact metric manifolds and discuss a link between them and the dilation function in 5-dimensional string theory. We find natural conditions implying conformal invariances of parallel spinors. We present topological obstructions to the existence of parallel spinors in the compact case.

研究の動機と目的

• 局所的に同一の5次元準サスカリアン多様体で、2次元スピンルーブル部分バンドル Σ² に ∇-平行スピンルーブル場をもつものを分類すること。
• 全歪対称ねじれをもつ計量接続のもとで、このようなスピンルーブル場の存在が引き起こす幾何的およびトポロジカル的制約を調査すること。
• 倍率関数を含む2番目のキリングスピンルーブル方程式を分析し、共形不変性および解の構造に与える影響を特定すること。
• コンパクトな場合に ∇-平行スピンルーブル場の存在に対するトポロジカルな障害を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、ニエンヒウステンソルが全歪対称であり、ξ がキリングベクトル場であるという条件から導かれる、全歪対称ねじれをもつ一意的な接続 ∇ を用いる。
• スピンルーブルバンドルの分解 Σ = Σ⁺ ⊕ Σ⁻ ⊕ Σ² を分析し、2次元部分バンドル Σ² に属するスピンルーブルに注目し、この成分における ∇-平行スピンルーブルの可積分性条件を導出する。
• 曲率公式 Ric∇(Y,Z) = Ωᴬ(Y,φ(Z)) を適用し、δ(T)(X,ξ) = Ωᴬ(ξ,φ(X)) の恒等式を用いて、リッチテンソルとねじれ形式との関係を確立する。
• 曲率とねじれの相互作用を分析するため、構造式 Ωᴬ ∧ F = 3/2 dT − σᵀ（σᵀ = 1/2 ∑(ei⌟T) ∧ (ei⌟T)）を用いる。
• スピンルーブルが Σ² に属するとき、δ(T − dφF)(ω,ξ) = 0 の恒等式と ξ のキリング性質を用いて、η に直交する調和1次形式が強制的に生じることを示す。
• 実関数に依存する特別な共形変換を導入し、5次元において Σ⁺ もしくは Σ⁻ に属する両方のキリングスピンルーブル方程式の解が、これらの変換に関して不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元準サスカリアン多様体が2次元スピンルーブル部分バンドル Σ² に ∇-平行スピンルーブル場をもつための必要な幾何的条件は何か？
• RQ2 倍率関数を含む2番目のキリングスピンルーブル方程式は、多様体の幾何にどのような制約を課え、倍率関数が定数でなければならないかを強制するか？
• RQ3 5次元においてキリングスピンルーブル方程式の解を不変にする共形変換は何か？また、リー形式と構造の共形因子とはどのように関係するか？
• RQ4 コンパクトな準サスカリアン多様体において、∇-平行スピンルーブル場の存在に対するトポロジカルな障害は何か？
• RQ5 調和1次形式が η に直交するという条件を Σ² の場合を超えて一般化できるか？そして、多様体の曲率とねじれにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、2次元スピンルーブルバンドル Σ² に ∇-平行スピンルーブル場をもつすべての局所的に同一の5次元準サスカリアン多様体を分類し、このような構造が極めて制約されていることを示している。
• 2番目のキリングスピンルーブル方程式 (2·dΦ − T)·ψ = 0 は、スピンルーブルが Σ² に属する場合、倍率関数 Φ が定数でなければならないことを示している。
• 1次元バンドル Σ⁺ もしくは Σ⁻ に属する両方のキリングスピンルーブル方程式の解は、5次元において実関数に依存する特別な共形変換に関して不変である。
• 本稿は、コンパクトな場合に、準サスカリアン多様体に Σ² に属する ∇-平行スピンルーブル場が存在するならば、任意の調和1次形式はリーブベクトル場 ξ に直交する必要があることを証明している。
• タチバナの定理の一般化が確立された：コンパクトな準サスカリアン多様体に特別な ∇-平行スピンルーブル場が存在するとき、調和1次形式は η に直交する。
• ほぼ接触構造のリー形式が、共形因子を除いて倍率関数と一致することが示され、ストリング理論における倍率関数と構造の幾何が結びつけられた。