[論文レビュー] Almost contact metric structures defined by an $N$-prolonged connection

Sergey V. Galaev|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ほぼ接触計量構造を備えた奇数次元多様体に対するササキ構成の一般化として、$N$-延長接続を導入する。内部接続を自己準同型 $N$ を用いて拡張することで、分布 $D$ 上に新しいほぼ接触計量構造を定義し、ねじれのない $N$-延長計量接続の存在と一意性を証明する。主な結果として、延長構造がほぼ K-接触であるための必要十分条件は、元の構造が K-接触であることであり、ほぼ正規であるための必要十分条件は、$D$ のショウテン曲率テンソルが消えることである。

ABSTRACT

On a manifold with an almost contact metric structure $(φ,\vecξ,η,g,X,D)$ the notions of the interior and the $N$-prolonged connections are introduced. Using the $N$-prolonged connection, a new almost contact metric structure is defined on the distribution $D$. The properties of this structure are studied.

研究の動機と目的

• 接続を用いた接続の一般化として、奇数次元多様体にほぼ接触計量構造を備えた接続の一般化を、接続の一般化として定義する。
• 内部接続と自己準同型 $N$ を用いて、分布 $D$ の全空間上に新しいほぼ接触計量構造を定義する。
• 延長構造の幾何的性質、特にそのほぼ接触および K-接触特性を研究する。
• 延長構造が基本構造から正規性またはほぼ正規性をどのように引き継ぐかを調査する。
• $N$-延長接続と既知のほぼ接触計量多様体上の接続との関係を明確にする。

提案手法

• ベクトル bundle $(D, \to, X)$ 上の $N$-延長接続の概念を導入し、内部接続と自己準同型 $N: D \to D$ を用いて定義する。
• $\nabla^N_{\vec{X}}\vec{Y} = \nabla^B_{\vec{X}}\vec{Y} + \eta(\vec{X})N\vec{Y}$ を用いて $N$-接続を定義する。ここで $\nabla^B$ はベイアンツー接続である。
• $N$-延長接続を用いて、$D$ 上に延長されたほぼ接触計量構造を構成し、ほぼ複素構造 $J$、リーブベクトル場 $\vec{u}$、および計量 $\tilde{g}$ を定義する。
• 適切な座標系で延長計量 $\tilde{g}$ を表現し、$\tilde{g}(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = g_{ab}$、$\tilde{g}(\partial_{n+a}, \partial_{n+b}) = g_{ab}$、および混合項はゼロとなる。
• シューテン曲率テンソルと自己準同型 $N$ を用いて、$J$ のニエンフイス torsion を表現し、$N_J(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = -R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}$ を示す。
• リーマン微分 $L_{\vec{u}}\tilde{g}$ を用いて K-接触性を分析し、$L_{\vec{u}}\tilde{g} = 0$ が成り立つのは、$\partial_n g_{ab} = 0$、$N^c_b = 0$、および $P^c_{bd} = 0$ のときに限ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N$-延長接続がねじれのない計量接続を生成する条件は何か？
• RQ2 分布 $D$ 上の延長されたほぼ接触計量構造がほぼ K-接触であるのはいつか？
• RQ3 延長構造のほぼ正規性と基本分布 $D$ の曲率との関係は何か？
• RQ4 延長されたほぼ複素構造 $J$ のニエンフイス torsion は、$D$ のショウテン曲率テンソルとどのように関係するか？
• RQ5 多様体 $D$ は、標準的 Sasaki 計量を備えた接続 bundle $TX$ に等長埋め込み可能か？

主な発見

• 内部接続と自己準同型 $N: D \to D$ が与えられたとき、$N$-延長接続は計量接続として存在し、ねじれがゼロである限り一意に定まる。
• 延長されたほぼ接触計量構造がほぼ K-接触であるための必要十分条件は、元の構造が K-接触であることであり、これは $\partial_n g_{ab} = 0$、$N^c_b = 0$、および $P^c_{bd} = 0$ を要請する。
• 延長構造がほぼ正規であるための必要十分条件は、$D$ のショウテン曲率テンソルが消えることである。これはニエンフイス torsion $N_J$ の消えることによって示される。
• 延長構造の基本形式 $\tilde{\omega} = d\lambda$ は $\tilde{\omega}_{ab} = \omega_{ab}$ を満たすため、$\text{rk}\tilde{\omega} = \frac{n-1}{2}$ であり、接触ではないことを示す。
• 延長構造は、$L_{\vec{u}}\tilde{g}$ の非ゼロ成分によって示されるように、標準的 Sasaki 計量を備えた Sasaki 多様体 $TX$ に等長埋め込み可能でない。
• 一般に、$J$ のニエンフイス torsion は非ゼロであり、$N_J(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = -R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}$ であるため、曲率がゼロでない限り構造は可積分でない。