[論文レビュー] Almost del Pezzo manifolds

Priska Jahnke, Thomas Peternell|ArXiv.org|Dec 18, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ネフかつビッグな反標準バンドルを持つ滑らかで射影的な多様体（ほぼデル・ペッツォ多様体と呼ばれる）を、そのモーリー収縮と特異的ゴレンスタイン・ファノ多様体への反標準的写像を分析することによって、すべての次元で完全に分類する。主な貢献は、このような多様体が点のブローモー、ランク2のベクター束のプロジェクトイゼーション、またはP^1上への二次式バンドルとして得られることを示し、明示的な幾何的実現と次数制約を提示することにある。

ABSTRACT

We classify almost del Pezzo manifolds in arbitrary dimension n, i.e., projective manifolds X with big and nef anticanonical bundle -K_X, such that -K_X is divisible by n-1.

研究の動機と目的

• ネフかつビッグな反標準バンドルを持つ滑らかで射影的な多様体（「ほぼデル・ペッツォ多様体」として知られる）を、任意の次元において分類すること。これは古典的なデル・ペッツォ多様体の分類を拡張するものである。
• 特異的ゴレンスタイン・ファノ多様体（正則特異点をもつ）への反標準的写像を通じて、これらの多様体の構造を理解すること。
• このような多様体が滑らかな点のブローモーとして、または曲面上のランク2ベクター束のプロジェクトイゼーションとして生じる条件を特定すること。
• 次元≥4のほぼデル・ペッツォ多様体を、ファイブレーションとブローモーを用いて分類し、低次元の結果を基盤とする。
• 特異的反標準的モデルの存在問題を、特異点の解析とクリープント解体の因子分解を用いて解消すること。

提案手法

• ピカール数2の3次元多様体の極小収縮を分類するためのモーリー理論を適用し、それが二次式バンドル、P^1バンドル、または滑らかな点のブローモーであることを同定する。
• ほぼデル・ペッツォ多様体Xから特異的ゴレンスタイン・ファノ3次元多様体X′（ρ(X′)=1、−K_X′=(n−1)H′）への反標準的写像ψ:X→X′を用いる。
• 特にn≥4の場合に、Fujitaによるゴレンスタイン・ファノn次元多様体の分類を用いて、X′の双有理幾何を分析する。
• リーマン・ローチの定理と消失定理を用いて、h⁰(X,H)=d+n−1（ここでd=Hⁿは多様体の次数）を計算する。
• フロップとクリープント解体を用いて、分類を既知のケースに還元し、特に非終値的またはQ-ファクター性のないモデルを除外する。
• P²、F₂、またはP¹×P¹上のランク2束のプロジェクトイゼーションによる具体的な例を構成する。また、グラスマンニアンやヴェロネーゼ・コーンの超平面切断を用いても同様に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元において、ネフかつビッグな反標準バンドルを持つ滑らかな射影的多様体で、ほぼデル・ペッツォと分類可能なものはどれか？
• RQ2 ピカール数2でファノでない反標準バンドルをもつ3次元多様体に対して、可能なモーリー収縮は何か？
• RQ3 ほぼデル・ペッツォ多様体の反標準的写像ψ:X→X′が、小さな収縮または除法的収縮を経由して因子分解される条件は何か？また、そのX′の特異点に与える影響は何か？
• RQ4 ほぼデル・ペッツォ多様体内の滑らかな点のブローモーが、依然としてほぼデル・ペッツォの性質を保つ条件は何か？
• RQ5 ほぼデル・ペッツォ多様体の特異的反標準的モデルX′が、滑らかなデル・ペッツォ多様体の超平面切断として実現可能か？また、いつ非Q-ファクター性または非終値的特異点をもつのか？

主な発見

• ピカール数ρ(X)=2の3次元多様体に対して、唯一の極小収縮は、二次式バンドル、P¹バンドル、または滑らかな点のブローモーのいずれかである。反標準的写像が小さいことは、X′が特異的かつ非Q-ファクター性であることにちょうど同値である。
• 次元3でρ(X)≥3の場合、有限回のフロップを経て、Xはρ=2の場合に分類された3次元多様体の点のブローモー、またはP²、F₂、P¹×P¹上のランク2束のプロジェクトイゼーションのいずれかである。
• 次元n≥4の場合、ほぼデル・ペッツォ多様体の任意のモーリー収縮は、滑らかな曲面上へのP^{n−2}-バンドル、P¹上への二次式バンドル、または他のほぼデル・ペッツォ多様体の滑らかな点のブローモーのいずれかである。
• 次数H⁵=5の5次元ほぼデル・ペッツォ多様体の反標準的モデルX′は、グレースマンニアンG(1,4)の特異的超平面切断、すなわち次数5のデル・ペッツォ5次元多様体である。
• 次元4でH⁵=4の場合、X′は前項の5次元多様体の超平面切断であり、このような多様体は存在する。
• X′が正則特異点をもち、非終値的特異点をもつ特異的ファノ3次元多様体の錐である場合、Xが存在すると仮定すると矛盾が生じる。これにより、このようなモデルが反標準的像として除外される。