[論文レビュー] Almost free modules and Mittag--Leffler conditions

Dolors Herbera, Jan Trlifaj|ArXiv.org|Oct 22, 2009

Rings, Modules, and Algebras参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、平坦なミタグレーファー・モジュールが、ℵ₁-射影的モジュールと一致することを確立し、無限次元代数幾何学における重要な構造的問題を解決した。さらに、非右完璧な環上では平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスが非構成可能であることを証明し、このクラスを用いた準同型的複体の有界でない複体のクーラン・モデルカテゴリ構造の存在を排除した。これはドリンフェルトが提起した問いに答えている。

ABSTRACT

Drinfeld recently suggested to replace projective modules by the flat Mittag--Leffler ones in the definition of an infinite dimensional vector bundle on a scheme $X$. Two questions arise: (1) What is the structure of the class $\mathcal D$ of all flat Mittag--Leffler modules over a general ring? (2) Can flat Mittag--Leffler modules be used to build a Quillen model category structure on the category of all chain complexes of quasi--coherent sheaves on $X$? We answer (1) by showing that a module $M$ is flat Mittag--Leffler, if and only if $M$ is $\aleph_1$--projective in the sense of Eklof and Mekler. We use this to characterize the rings such that $\mathcal D$ is closed under products, and relate the classes of all Mittag--Leffler, strict Mittag--Leffler, and separable modules. Then we prove that the class $\mathcal D$ is not deconstructible for any non--right perfect ring. So unlike the classes of all projective and flat modules, the class $\mathcal D$ does not admit the homotopy theory tools developed recently by Hovey . This gives a negative answer to (2).

研究の動機と目的

• 一般の環上の平坦ミタグレーファー・モジュールの構造的性質、特にℵ₁-射影性との関係を特定すること。
• スキーム上の有界でない準同型的複体の圏における平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスが、クーラン・モデルカテゴリ構造を許容するかを調査すること。
• 構成可能なクラス、カプランスキー・クラス、および平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスとの関係を明確化すること。
• 平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスが直積に関して閉じる環を特徴づけること。
• モデルカテゴリを用いた導来カテゴリ計算への平坦ミタグレーファー・モジュールのホモトピー論的妥当性を解決すること。

提案手法

• 圏論的および集合論的手段を用いて、平坦ミタグレーファー・モジュールとℵ₁-射影的モジュールの間の同値関係を確立した。
• テンソル積関手を用いてℵ₁-射影的モジュールを再解釈し、ミタグレーファー・モジュール理論への新たなアクセスを可能にした。
• エクロフとメクラーのℵ₁-射影的モジュールに関する結果を応用し、平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスの閉包性質を分析した。
• ホーヴェイの小コトローション対によるモデルカテゴリ枠組みを用い、クラスの構成可能性を要請した。
• 非右完璧な任意の環上において、平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスが構成可能でないことを、超限的拡張および閉包性の議論を用いて証明した。
• 構成可能性とより弱いカプランスキー・クラス性の性質を対比し、一般には後者が前者を含まないことを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の環上での平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスは、ℵ₁-射影的モジュールのクラスと同値か？
• RQ2 平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスを用いて、スキーム上の有界でない準同型的複体の圏にクーラン・モデルカテゴリ構造を構成できるか？
• RQ3 平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスが直積に関して閉じる条件は何か？
• RQ4 平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスは構成可能か？ そして、これはモデルカテゴリ構造の存在とどのように関係するか？
• RQ5 平坦ミタグレーファー・モジュールの文脈において、カプランスキー・クラスと構成可能なクラスの概念はどのように比較できるか？

主な発見

• モジュールが平坦ミタグレーファーであるための必要十分条件は、ℵ₁-射影的であることである。これは根本的な構造的同値性を確立した。
• 任意の非右完璧な環上において、平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスは構成可能でない。これはホーヴェイのモデルカテゴリ構成法の使用を無効にした。
• 非右完璧な環に対して、平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスは、いかなるモジュールクラスの左直交クラスとしても表現できない。よって、任意の𝒟に対して⁻(𝒟⁻¹)の形にはならない。
• 環が可算であり、平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスが直積に関して閉じているとき、すべての平坦モジュールのクラスは、平坦ミタグレーファー・クラスの右直交クラスの左直交クラスに一致する。
• 平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスは一般にカプランスキー・クラスであるが、構成可能とは限らない。これは、カプランスキー・クラスが一般には構成可能なクラスよりも弱いことを示している。
• 非右完璧な環では、平坦ミタグレーファー・モジュールのクラスは超限的拡張に関して閉じているが、これは構成可能性やモデルカテゴリの適用可能性を意味しない。