[論文レビュー] Almost Global Convergence in Singular Perturbations of Strongly Monotone Systems

Liming Wang, Eduardo D. Sontag|ArXiv.org|Apr 17, 2006

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、縮小（遅い）系が強く単調であり、速い部分系が入力-状態安定性を有するグローバル安定性を示す特異摂動系に対して、ほぼ全域的収束を確立する。幾何学的特異摂動論を用いて、十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、ほぼすべての軌道が均衡点に収束することを証明し、時間スケール分離を用いて、非単調系の広いクラスにまでヒルシュの一般的収束定理を拡張する。

ABSTRACT

This paper deals with global convergence to equilibria, and in particular Hirsch's generic convergence theorem for strongly monotone systems, for singular perturbations of monotone systems.

研究の動機と目的

• 強く単調な系に対するヒルシュの一般的収束定理を、元の系が必ずしも単調でない特異摂動系に拡張すること。
• 遅い変数と速い変数を有する系の収束挙動を分析すること。ここで速い部分系は遅い変数に依存する定常状態多様体に収束する。
• 元の系が単調性を欠いていても、縮小系のほぼ全域的収束性が全系にどのように引き継がれるかの条件を確立すること。
• 時間スケール分離が、そうでなければ非単調な系に単調性をもたらすことができることを示し、不変多様体論を用いて収束結果を得ること。
• 反復ループやリラクゼーション振動を示す、複数の時間スケールを有する生化学的および制御系の解析のための厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 幾何学的特異摂動論を適用して、全系に局所的に吸引的な不変多様体 $M_{\varepsilon}$ を構成する。これは $\varepsilon = 0$ における速い部分系の正則摂動である。
• 縮小系 $\dot{x} = f(x, h(x))$ が強く単調（最終的に正の微分を有する）であることを用いて、不変多様体上での一般的収束を保証する。
• 技術的条件を課す：速い部分系 $\varepsilon \dot{y} = Ay + h(x)$ はハーヴィッツ行列 $A$ を持ち、グローバルに安定な定常状態 $y = h(x)$ を有し、入力-状態安定性を有する。
• 漸近的位相性質を用いて、近接するすべての軌道が $M_{\varepsilon}$ 上の解を任意に良く追跡することを示し、したがって収束挙動を引き継ぐことを示す。
• 収束に至る初期条件の集合が、不変多様体の構造と縮小系の単調性に起因して、定義域において残渣的（一般的）であることを確立する。
• 主の象限錐に関して協同的系を考察するが、類似の議論により、近い論文で一般の錐へ拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異摂動系が、その縮小（遅い）系のほぼ全域的収束性をどのような条件下で引き継ぐのか。
• RQ2 非単調系が時間スケール分離によって効果的に単調化され得るか。また、そのような単調化が均衡点への収束をもたらす条件は何か。
• RQ3 幾何学的特異摂動論は、速い・遅いダイナミクスを有する系に、ヒルシュの一般的収束定理をどのように拡張可能にするか。
• RQ4 速い部分系の入力-状態安定性が、全系のダイナミクスが遅い多様体を追跡し、一般に収束するのを保証する上で果たす役割は何か。
• RQ5 収束結果は、協同的系に限らず、任意の単調性錐を有する系へどの程度一般化可能か。

主な発見

• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、コンパクト領域内のほぼすべての初期条件から出発する特異摂動系のすべての軌道が均衡点に収束する。
• 縮小系 $\dot{x} = f(x, h(x))$ は、コンパクトかつ凸な集合 $\widetilde{K}$ 上で最終的に正の微分を持つと仮定され、これにより遅い多様体上での一般的収束が保証される。
• 不変多様体 $M_{\varepsilon}$ は存在し、近接するすべての解を吸引する。また、漸近的位相性を有するため、軌道は $M_{\varepsilon}$ 上の解を任意に良く追跡する。
• 収束はほぼ全域的である：均衡点に収束しない初期条件の集合は測度ゼロであり、定義域において残渣的である。
• 元の系がいかなる象限錐に対しても単調でなくても、速い部分系がハーヴィッツであり、遅いダイナミクスが強く単調であれば、結果は成り立つ。
• 反例により、$\varepsilon > 1$ の場合に収束が失敗することが示され、均衡点が反発的になると、ポoincar\'{e}-Bendixson定理によりリミットサイクルが生じる。