[論文レビュー] Almost global existence of solutions for capillarity-gravity water waves equations with periodic spatial boundary conditions

Massimiliano Berti, Jean-Marc Delort|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 59被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、1次元の界面重力・毛管波方程式に対して、周期的で偶関数の小さな初期データに対して、ほとんど全域的解の存在を確立する。パラ線形化と、小分母をパラ微分正規化によって補償する新規な正準形手続きを組み合わせることで、重力・毛管パrameterの零測度集合を除き、任意の $N$ に対して $\epsilon^{-N}$ 時間の解の存在を証明する。

ABSTRACT

The goal of this monograph is to prove that any solution of the Cauchy problem for the capillarity-gravity water waves equations, in one space dimension, with periodic, even in space, initial data of small size $ε$, is almost globally defined in time on Sobolev spaces, i.e. it exists on a time interval of length of magnitude $ε^{-N}$ for any $N$, as soon as the initial data are smooth enough, and the gravity-capillarity parameters are taken outside an exceptional subset of zero measure. In contrast to the many results known for these equations on the real line, with decaying Cauchy data, one cannot make use of dispersive properties of the linear flow. Instead, our method is based on a normal forms procedure, in order to eliminate those contributions to the Sobolev energy that are of lower degree of homogeneity in the solution. Since the water waves equations are a quasi-linear system, usual normal forms approaches would face the well known problem of losses of derivatives in the unbounded transformations. In this monograph, to overcome such a difficulty, after a paralinearization of the capillarity-gravity water waves equations, necessary to obtain energy estimates, and thus local existence of the solutions, we first perform several paradifferential reductions of the equations to obtain a diagonal system with constant coefficients symbols, up to smoothing remainders. Then we may start with a normal form procedure where the small divisors are compensated by the previous paradifferential regularization.The reversible structure of the water waves equations, and the fact that we look for solutions even in $x$, guarantees a key cancellation which prevents the growth of the Sobolev norms of the solutions.

研究の動機と目的

• 1次元空間で周期的で偶関数の小さな初期データをもつ界面重力・毛管波方程式に対して、解のほとんど全域的存在を確立すること。
• 準線形系における微分の損失を、パラ線形化と正準形還元を組み合わせることで克服すること。
• 正準形手続きにおける小分母を、方程式の事前パラ微分正規化によって補償すること。
• 系の可逆構造と偶関数対称性を活用し、ソボレフノルムの増大を防ぐこと。
• 分散効果が存在しない周期的境界条件において、長時間存在の結果を拡張すること。

提案手法

• 界面重力・毛管波方程式にパラ線形化を適用し、エネルギー推定を導出し、局所的解の存在を保証する。
• 複数回のパラ微分還元を施し、滑らかさの余剰項を除き、定数係数の記号を持つ対角形に変換する。
• 小分母の補償を事前正規化によって行う正準形手続きを実装し、ソボレフノルム増大の低次の項を除去する。
• 方程式の可逆性および偶関数保存構造を活用し、ノルムの発散を防ぐ重要なキャンセレーションを強制する。
• 自由界面境界条件を扱うために、パラ微分およびパラ・ポアソン作用素を用いてディリクレ＝ノイマン作用素のパラメトリックスを構成する。
• 複素座標表現における記号的計算を容易にするために、良い未知数表現を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散効果が存在しない周期的空間境界条件をもつ界面重力・毛管波方程式に対して、ほとんど全域的解の存在を確立できるか？
• RQ2 正準形法の文脈において、準線形パラ微分系の微分の損失をどのように克服できるか？
• RQ3 初期データの可逆性および偶関数対称性が、ソボレフノルム増大を防ぐ役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ4 分散減衰が存在しない状況で小分母が出現する場合、正準形手続きをどの程度適応可能にできるか？
• RQ5 パラ微分正規化によって定数係数の記号への還元が可能となり、効果的な正準形変換が可能になるか？

主な発見

• 小さな滑らかな周期的で偶関数の初期データをもつ解は、任意の $N$ に対して $\epsilon^{-N}$ の時間区間で存在し、ほとんど全域的解の存在が証明される。
• 正準形手続きにより、低次のエネルギー寄与項が効果的に除去され、長時間にわたるソボレフノルムの増大が防がれる。
• パラ微分計算枠組みにおいて、ディリクレ＝ノイマン作用素の記号が $-1$ 階数であることが示され、エネルギー推定に不可欠である。
• 可逆性と対称性に起因する重要なキャンセレーションにより、正準形項が微分の損失やノルム爆発を引き起こさない。
• 重力・毛管パrameterの零測度集合を除き、この手法は安定しており、一般にほとんど全域的解が成立することが保証される。
• 逐次的パラ微分還元により、定数係数記号への還元が達成され、効果的な小分母補償が可能になる。