[論文レビュー] Almost Gorenstein rings

Shirô Gotô, Naoyuki Matsuoka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、解析的に分岐している1次元コhen＝マカウル・局所環を含む、ほぼゴレンシュタイン環の概念を一般化し、BarucciとFröbergの元々の理論を拡張する統一的な定義を提示する。主な貢献は、正則理想 $I$ に対する最初のヒルベルト係数 $ me_1(I) \leq \rme(R)$ に基づく新しい定義を用いて、終端代数 $\tau = \mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ がゴレンシュタインである条件を完全に解明したことである。さらに、アイデアル化がほぼゴレンシュタイン性を保つことを確立している。

ABSTRACT

The notion of almost Gorenstein ring given by Barucci and Fr{ö}berg \cite{BF} in the case where the local rings are analytically unramified is generalized, so that it works well also in the case where the rings are analytically ramified. As a sequel, the problem of when the endomorphism algebra $\m : \m$ of $\m$ is a Gorenstein ring is solved in full generality, where $\m$ denotes the maximal ideal in a given Cohen-Macaulay local ring of dimension one. Characterizations of almost Gorenstein rings are given in connection with the principle of idealization. Examples are explored.

研究の動機と目的

• 解析的に分岐している場合を含め、ほぼゴレンシュタイン環の理論を解析的に非分岐な場合を超えて拡張すること。
• BarucciとFröbergによる、終端代数 $\mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ がゴレンシュタインである条件の証明におけるギャップを解消すること。
• 正則理想 $I$ の最初のヒルベルト係数 $\rme_1(I)$ を用いた統一的なほぼゴレンシュタイン環の特徴付けを提供すること。
• 3生成の数値的半群環およびアイデアル化によって得られる環におけるほぼゴレンシュタイン性を調査すること。
• アイデアル化 $R \ltimes \mathfrak{m}$ がほぼゴレンシュタインである条件を確立し、非ゴレンシュタインのほぼゴレンシュタイン環の新しい例を構成すること。

提案手法

• 正則理想 $I$ に対して不等式 $\rme_1(I) \leq \rme(R)$ を満たすという新しいほぼゴレンシュタイン環の定義を導入し、これは解析的に分岐している場合にも有効である。
• ヒルベルト係数に関するNorthcott–Reesの不等式を用いて、$\mathfrak{m}$-主理想における $\rme_1(I)$ の振る舞いを分析する。
• 終端代数 $\mathfrak{m} : \mathfrak{m} = \mathrm{Hom}_R(\mathfrak{m}, \mathfrak{m})$ をゴレンシュタイン性を調べる中心的な対象として用いる。
• トリビアルエクステンション（アイデアル化）の理論を用いて、既存のものから新しいほぼゴレンシュタイン環の例を構成する。
• 正則部分加群 $\mathrm{K}_R$ 及びその双対 $\mathfrak{m}^\vee = \mathrm{Hom}_R(\mathfrak{m}, \mathrm{K}_R)$ を用い、$\mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ を分数イデアル $K$ に対して $S = R[K]$ と関連付ける。
• 等価性 $R \ltimes \mathfrak{m}$ がほぼゴレンシュタイン $\Leftrightarrow$ $R$ がほぼゴレンシュタイン（定理6.5）を用いて、非ゴレンシュタインのほぼゴレンシュタイン環の無限族を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元コhen＝マカウル・局所環 $R$ に対して、終端代数 $\mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ がゴレンシュタイン環であるのはいつか？
• RQ2 ほぼゴレンシュタイン環の概念を解析的に分岐している環を含むようにどのように一般化できるか？
• RQ3 アイデアル化 $R \ltimes \mathfrak{m}$ がほぼゴレンシュタインであるための条件は何か？
• RQ4 分数イデアル $K \cong \mathrm{K}_R$ に対して $S = R[K]$ であるとき、$R \ltimes S$ がほぼゴレンシュタインである条件は何か？
• RQ5 $v(R \ltimes S) = e(R \ltimes S)$ が成り立つのはいつか？ そしてこれは $R \ltimes S$ のゴレンシュタイン性に何を意味するか？

主な発見

• 正則理想 $I$ に対して $\rme_1(I) \leq \rme(R)$ を要求する新しいほぼゴレンシュタイン環の定義は、解析的に非分岐な場合にBarucciとFröbergの元々の定義と同値である。
• 終端代数 $\mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ がゴレンシュタインである条件を、完全に一般化された形で解明した：$\mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ がゴレンシュタインであることは、$R$ がほぼゴレンシュタインであり、かつ $v(R) = e(R)$ であることと同値である。
• アイデアル化 $R \ltimes \mathfrak{m}$ がほぼゴレンシュタインであることと、$R$ がほぼゴレンシュタインであることとは同値である（定理6.5）。
• $R$ がゴレンシュタインではなく、残渣体が無限大であるとき、$R \ltimes S$ はゴレンシュタインではないが、$S = \mathfrak{m} : \mathfrak{m}$ ならば $v(R \ltimes S) = 2v(R)$ である。
• 繰り返しのアイデアル化により、非ゴレンシュタインのほぼゴレンシュタイン環を無限に構成可能である：$R_n = (R_{n-1})_1$ で $R_1 = R \ltimes \mathfrak{m}^\vee$ とし、$v(R_n) = 2^n v(R)$ である。
• $k[[X,Y]]/(Y^2) \ltimes (X,Y)/(Y^2)$ は、アイデアル化によって構成された非ゴレンシュタインのほぼゴレンシュタイン環の例である。