[論文レビュー] Almost Hermitian structures on tangent bundles

Hiroyasu Satoh|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多様体 $M$ 上のリーマン計量 $g$ とアフィン接続 $D$ によって誘導される、接 bundle $TM$ 上のほぼヘルミート構造を調査する。誘導された構造がほぼカーラーであるための必要十分条件は、双対接続 $D^*$ が torsion-free であることであり、カーラー構造であるための必要十分条件は、$(M,g,D)$ がヘッセ多様体（つまり、$D$ と $D^*$ が両方とも平坦）であることである。また、エインシュタイン構造であるためには、$D$ の曲率が消える必要がある。主な貢献は、行列値線形写像を用いて $TM$ 上に新しいカーラー＝エインシュタイン構造を構成し、特に $\mathbb{R}^2$-パラメータ化された対称 $2\times2$ 行列族についての完全な分類を提供することにある。

ABSTRACT

In this article, we consider the almost Hermitian structure on $TM$ induced by a pair of a metric and an affine connection on $M$. We find the conditions under which $TM$ admits almost Kähler structures, Kähler structures and Einstein metrics, respectively. Moreover, we give two examples of Kähler-Einstein structures on $TM$.

研究の動機と目的

• $(g,D)$ によって誘導される $TM$ 上の自然なほぼヘルミート構造が、いつほぼカーラー、カーラー、あるいはエインシュタインであるかを特定すること。
• 非コンパクトで非カーラー的であり、スカラー曲率が非ゼロであるような、ほぼカーラー的エインシュタイン多様体の構成という未解決問題に取り組むこと。
• 行列値線形写像から生じるヘッセ多様体を分析することで、$TM$ 上のカーラー＝エインシュタイン構造の存在を検討すること。
• そのような写像によって誘導されるヘッセ多様体に対して、接 bundle がカーラー＝エインシュタイン計量を持つための条件を特定すること。
• これまでに知られていた例を越えた、$TM$ 上のカーラー＝エインシュタイン構造の明示的例を提供すること。

提案手法

• アフィン接続 $D$ によって誘導される水平・垂直分解を用いて、$TM$ 上に自然なほぼ複素構造 $J^D$ とササキ計量 $\widetilde{g}^D$ を定義する。
• 計量 $g$ に関して双対接続 $D^*$ を、$Z(g(X,Y)) = g(D^*_Z X, Y) + g(X, D_Z Y)$ で定義し、誘導された構造の幾何的性質を特徴付ける。
• ドンブロフスキーの定理（$J^D$ が可積分であるための必要十分条件は $D$ が平坦であること）を用い、ほぼカーラー条件と組み合わせてカーラー条件を導出する。
• ヘッセ構造 $(D^*, g_\rho)$ の2番目のコシュール形式 $\beta^*$ を用いて、$T\mathscr{P}_n^\rho$ 上のリッチ曲率とエインシュタイン条件を分析する。
• 一般の線形写像 $\rho: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathcal{S}_2^+$ を、アフィン座標変換により標準形 $\rho(\xi^1,\xi^2) = \begin{pmatrix} \xi^1 & a\xi^1 + b\xi^2 \\ a\xi^1 + b\xi^2 & \xi^2 \end{pmatrix}$ に簡略化する。
• 簡略化された形に対して $\beta^* = 3g_\rho$ を計算し、$\mathscr{P}_2^\rho$ がヘッセ＝エインシュタインであることを証明することで、$T\mathscr{P}_2^\rho$ がカーラー＝エインシュタインであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(g,D)$ によって誘導される $TM$ 上の自然なほぼヘルミート構造が、いつほぼカーラー構造であるか。
• RQ2 この構造がカーラーであるための条件は何か。また、$(M,g,D)$ にどのような幾何的条件が必要か。
• RQ3 ササキ計量 $\widetilde{g}^D$ が $TM$ 上でエインシュタインであるための条件は何か。これは $D$ の曲率にどのような意味をもたらすか。
• RQ4 どの行列値線形写像 $\rho$ に対して、統計的モデル $\mathscr{P}_n^\rho$ の接 bundle がカーラー＝エインシュタインであるか。
• RQ5 既知の例 $\rho(t) = tI_n$ を超えて、$TM$ 上に新たなカーラー＝エインシュタイン構造の例はあるか。

主な発見

• 自然なほぼヘルミート構造が、$TM$ 上でほぼカーラーであるための必要十分条件は、双対接続 $D^*$ が torsion-free であることである。
• この構造がカーラーであるための必要十分条件は、$(M,g,D)$ がヘッセ多様体であること、すなわち $D$ と $D^*$ が両方平坦であることである。
• ササキ計量 $\widetilde{g}^D$ が $TM$ 上でエインシュタインであるならば、$D$ の曲率テンソルは消える必要がある。
• 任意の単射線形写像 $\rho: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathcal{S}_2^+$ に対して、統計的モデル $\mathscr{P}_2^\rho$ はヘッセ＝エインシュタインであるため、$T\mathscr{P}_2^\rho$ はカーラー＝エインシュタインである。
• 簡略化された行列形に対して、ヘッセ構造 $(D^*, g_\rho)$ の2番目のコシュール形式 $\beta^*$ は $\beta^* = 3g_\rho$ を満たし、ヘッセ＝エインシュタイン条件が確認される。
• 例 $\rho(t) = tI_n$ は、定曲率の複素断面曲率をもつ $T\mathscr{P}_n^\rho$ 上のカーラー＝エインシュタイン構造を与えるが、これは $\mathbb{R}^2$ 上のより広いクラスの $\rho$ に一般化可能である。