[論文レビュー] Almost holomorphic embeddings in Grassmannians with applications to singular simplectic submanifolds

Vicente Muñoz, Francisco Presas+1 more|ArXiv.org|Feb 25, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ドナルドソンの近似的に正則な技法を用いて、整数シンプレクティッククラスをもつ閉シンプレクティック多様体をグラスマンニアンへ漸近的に正則な埋め込みとして与える。特異な行列式部分多様体を、一般化されたシューベルトサイクルとの交わりとして構成し、特に次元 >2 の場合、オーロウスの枠組みにおけるものとはシンプレクティック同相でないシンプレクティック部分多様体を生じさせ、従来の方法を超えたシンプレクティック部分多様体の構成の範囲を拡張する。

ABSTRACT

We use Donaldson's approximately holomorphic techniques to build embeddings of a closed symplectic manifold with symplectic form of integer class in the grassmannians Gr(r,N). We assure that these embeddings are asymptotically holomorphic in a precise sense. We study first the particular case of embeddings in the projective space $CP^N$ obtaining control on N. The main reason of our study is the construction of singular determinantal submanifolds as the intersection of the embedding with certain ``generalized Schur cycles'' defined on a product of grassmannians. It is shown that the symplectic type of these submanifolds is quite more general that the ones obtained by Auroux as zero sets of approximately holomorphic sections of ``very ample'' vector bundles.

研究の動機と目的

• ドナルドソンの近似的に正則な技法を、単に射影空間ではなくグラスマンニアンへのシンプレクティック埋め込みへ拡張すること。
• 漸近的に正則な埋め込みと一般化されたシューベルトサイクルとの交わりとして特異な行列式部分多様体を構成すること。
• これらの新しい部分多様体が、ねじれたバンドルの切断の零点集合として得られるオーロウスの方法によるものとはシンプレクティック同相でないことを示すこと。
• これらの行列式部分多様体のシンプレクティック不変量が、特に次元が2より大きい場合、オーロウスの構成と顕著に異なることを示すこと。
• 可積分でない設定下での漸近的正則性を用いて、これまでに知られていたものよりも広いクラスのシンプレクティック部分多様体を確立すること。

提案手法

• 適合するほぼ複素構造とスケーリングされた計量 g_k = k g を用いて、γ-漸近的に正則な埋め込みを定義する。
• 漸近的に正則な埋め込み φ_k: M → ℂP^{2n+1} を構成することで、シンプレクティック圏へのコディア埋め込み定理の一般化を達成し、φ_k^*[ω_FS] = kω を満たす。
• φ_k^*𝒰 = E ⊗ L^⊗k を満たすように、グラスマンニアン Gr(r,N) への埋め込みを拡張し、E をヒルベルトベクトルバンドル、L を c_1(L) = [ω/2π] を満たすラインバンドルとする。
• 積のグラスマンニアン上の一般化されたシューベルトサイクル（「一般化されたシュールサイクル」）を用いて、埋め込み像との交わりとして行列式部分多様体を定義する。
• 曲率および微分のノルムの振る舞いを制御するための漸近的解析を適用し、ほぼ複素構造の歪みが O(k^{-1/2}) の割合で減少することを保証する。
• 体積、第一チエーン類、第二チエーン類（n_1, n_11, n_2）などのシンプレクティック不変量を計算し、オーロウスの例と比較して非シンプレクティック同相性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体のグラスマンニアンへの漸近的に正則な埋め込みを、その像が一般化されたシューベルトサイクルと交わって、制御されたシンプレクティック型を持つ特異な行列式部分多様体を生じさせるように構成可能か？
• RQ2 これらの行列式部分多様体のシンプレクティック不変量は、オーロウスの方法によるねじれたバンドルの切断の零点集合として得られる部分多様体のそれとは異なっているか？
• RQ3 複素次元 n > 2 の場合、どの程度の k_1, k_2 を選んでも、行列式部分多様体 D_1^k_1 がオーロウス型の零点集合 Z_k_2 と同相でないか、特に漸近的に不一致が生じるか？
• RQ4 特異なシンプレクティック部分多様体のセグレ類を代数的幾何と整合する方法で定義可能か？これにより位相的分類が可能になるか？
• RQ5 漸近的に正則な行列式的構成により得られるシンプレクティック部分多様体のクラスは、ドナルドソン–オーロウスの方法により得られるクラスを厳密に超えているか？

主な発見

• 本稿は、N > n + r − 1 かつ r(N − r) > 2n を満たすように、φ_k: M → Gr(r,N) なる漸近的に正則な埋め込み φ_k を構成し、φ_k^*𝒰 = E ⊗ L^⊗k を満たす。k が十分に大きいとき、このような埋め込みが存在することが保証される。
• 複素次元 n > 2 の場合、行列式部分多様体 D_1 のシンプレクティック不変量 — 特に比 n_2(D_1)/n_11(D_1) = (n² + n − 4)/(2(n² − 5)) + O(k⁻¹) — は、オーロウスの部分多様体の比 (n−1)/(2(n−2)) + O(k⁻¹) とは異なり、非シンプレクティック同相性が証明される。
• r = 1, r_e = 2, r_f = n の場合、D_1 の体積は ((n−1)2^{n−2} + O(k⁻¹))vol_ω_k(M) であり、n_11(D_1) = (4(n−1)(n²−5)2^{n−2} + O(k⁻¹))vol_ω_k(M) である。これにより、スケーリングの挙動が明確に異なることが示される。
• n > 2 の場合、いかなる k_1, k_2 の選び方に対しても、行列式部分多様体 D_1^k_1 はオーロウス型の零点集合 Z_k_2 と同相でない。これは、そのシンプレクティック不変量が漸近的に一致しないためである。
• 次元4において、行列式部分多様体はオーロウスの例とは同相でもなく、トポロジー的同相でもない。これは、比 n_2/n_11 がトポロジー的不変量であり、両者の構成で異なるためである。
• 本稿は、漸近的に正則な行列式的構成により得られるシンプレクティック部分多様体のクラスが、ねじれたバンドルの切断により得られるクラスを厳密に超えていることを確立した。特に次元が2より大きい場合に顕著である。