[論文レビュー] Almost Hyperbolic Groups with Almost Finitely Presented Subgroups

Robert Kropholler|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ℤ^3$ の部分群を含まない初の CAT(0) 群を構成し、$FP_2$ 型だが有限生成でない部分群を含むものであり、また、$F_{n-1}$ 型だが $F_n$ 型でない群のうち、自由アーベル部分群のランクが $⌈ n/3 ⌉$ を超えないものも提供している。これは、有限生成群におけるこのような部分群のランクに関する既知の下界を著しく低下させている。

ABSTRACT

We construct new examples of CAT(0) groups containing non finitely presented subgroups that are of type $FP_2$, these CAT(0) groups do not contain copies of $\mathbb{Z}^3$. We also give a construction of groups which are of type $F_n$ but not $F_{n+1}$ with no free abelian subgroups of rank greater than $\lceil\frac{n}{3} ceil$.

研究の動機と目的

• $ℤ^3$ に同型な部分群を含まないが、$FP_2$ 型だが有限生成でない部分群を含む CAT(0) 群を構成すること。
• $F_{n-1}$ 型だが $F_n$ 型でない群における自由アーベル部分群の最小ランクを低減すること。既存の例では $ℤ^{n-1}$ が必要とされるが、それを改善すること。
• 制御された有限性性質と制限されたアーベル部分群構造を備えた、双曲的であるかのようないわゆる「ほぼ双曲的」な群の新しい例を提供すること。
• 非正曲率群における有限性性質の理解を拡張し、最大アーベルランクが $n$ に対して非線形的に増大するような群を構成すること。

提案手法

• フラッグ複体に付随する右回転アーベル群（RAAG）の分岐被覆を用いて、新しい CAT(0) 2次元複体を構成する。
• 頂点のリンクに対する微分写像を適用し、普遍被覆の位相を制御し、レベル集合の基本群が非自明のままであることを保証する。
• 分岐被覆空間の普遍被覆内に、各 $X_I$ をコンパクト区間 $I \subset \mathbb{R}$ に付随させるレベル集合の系列を構成し、それらの基本群を解析する。
• これらのレベル集合の直和極限を用いて、可縮な CAT(0) 空間を構成し、結果として得られる群が、構成に応じて $F_n$ または $FP_n$ 型であることを保証する。
• RAAG $G$ から $ℤ$ への写像 $g_*$ の核は、フラッグ複体の性質によって決定される有限性性質を引き継ぐことを利用し、複体を変更してアーベル部分群の数を制限する。
• グロモフのリンク基準を適用する：立方複体が CAT(0) であるための必要十分条件は、すべての頂点のリンクがフラッグ複体であること。この条件を満たすように保ちつつ、平坦埋め込みによるアーベルランクを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℤ^3$ を部分群として含まない CAT(0) 群で、$FP_2$ 型だが有限生成でない部分群を含むものは構成可能か？
• RQ2 $F_{n-1}$ 型だが $F_n$ 型でない群における自由アーベル部分群の最小ランクは何か？
• RQ3 このような群における自由アーベル部分群の最大ランクは $n-1$ よりも小さく抑えられるか？
• RQ4 $F_{n-1}$ 型だが $F_n$ 型でない群で、ランクが $⌈ n/3 \rceil$ を超えない自由アーベル部分群を含まないものは構成可能か？
• RQ5 このような群は、$ℤ^3$ を含まない CAT(0) 群の部分群として実現可能か？

主な発見

• 本稿は、$ℤ^3$ に同型な部分群を含まないが、$FP_2$ 型で有限生成でない部分群を含む CAT(0) 群 $\pi_1(X)$ を構成している。
• この構成により、任意の $n$ に対して $F_{n-1}$ 型だが $F_n$ 型でない群が得られ、その自由アーベル部分群のランクは $⌈ n/3 \rceil$ を超えない。
• RAAG $G$ から $ℤ$ への写像 $g_*$ の核 $H = \ker(g_*)$ は、レベル集合 $X_I$ の基本群に基づく背理法により、有限生成でないことが示された。
• $\pi_1(X_I) \neq 1$ がすべてのコンパクト区間 $I \subset \mathbb{R}$ に対して成り立つことが証明され、これは核が有限生成でないことを示唆する。
• 有限個の 2-セルを追加しても、レベル集合 $X_I$ の基本群は非自明のままであるため、有限生成でないことが矛盾する。
• この構成により、結果空間の普遍被覆が CAT(0) かつ可縮であり、群が共通に作用するため、望ましい有限性性質が保証される。