[論文レビュー] Almost Kaehler deformation quantization

Alexander Karabegov, Martin Schlichenmaier|ArXiv.org|Feb 21, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のほぼケーラー多様体上で、ほぼケーラー構造を尊重する非自明な torsion を持つ自然なアフィン接続を用いて、フェドソフ型の変形量子化を構成する。主な結果は、得られる星積の特徴的類が $[\varkappa] = -(1/2i)\varepsilon$ であることで、ここで $\varepsilon$ はほぼ複素構造の標準類であり、以前のケーラーの場合の結果を非可積分なほぼケーラー設定に一般化する。

ABSTRACT

We use a natural affine connection with nontrivial torsion on an arbitrary almost-Kaehler manifold which respects the almost-Kaehler structure to construct a Fedosov-type deformation quantization on this manifold.

研究の動機と目的

• フェドソフの変形量子化フレームワークを、可積分でないほぼ複素構造を持つため、ケーラーでない可能性があるほぼケーラー多様体へと拡張すること。
• ほぼケーラー構造を保存する非自明な torsion を持つ自然なアフィン接続を用いて、任意のほぼケーラー多様体上に微分的星積を構成すること。
• 得られる星積の特徴的類を計算し、それがほぼ複素多様体の標準類 $\varepsilon$ に依存することを示すこと。
• ケーラー多様体に対して既知の結果（星積の特徴的類が $(1/i\nu)[\omega] - (1/2i)\varepsilon$ である）を、ほぼケーラーの場合に一般化すること。

提案手法

• ほぼケーラー多様体上に自然に定義されるヤノ接続（ほぼ複素構造および計量を保存するが、複素構造が可積分でない場合には非自明な torsion を持つアフィン接続）の使用。
• フェドソフ形式の一般化を、torsion を持つ接続に適応するため、星積構成における微分複体および曲率項を修正すること。
• ヤノ接続の曲率および torsion を組み込んだ、Weyl代数バンドル上のねじれ付き微分作用素 $D'$ の構成。
• 修正された曲率項 $r'$ を用いて、Weyl代数バンドル上に平坦接続 $\nabla'$ を定義し、各滑らかな関数 $f$ に対して一意な平坦切断 $\tau'(f)$ が存在することを保証すること。
• 記号写像 $\tau'$ を用いて星積 $f \ast g = \tau'(f) \cdot \tau'(g) \big|_{y=0}$ を定義し、Weyl乗法により積を計算すること。
• 曲率項 $\varkappa = \delta(r'^{(3)}_1)$ を用いた特徴的類の計算により、$[\varkappa] = -(1/2i)\varepsilon$ の式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェドソフの変形量子化は、可積分でない複素構造を持つほぼケーラー多様体へ一般化可能か？
• RQ2 捩れを持つ接続を用いてほぼケーラー多様体上に構成された星積の特徴的類は何か？
• RQ3 ほぼ複素構造の標準類 $\varepsilon$ は、星積の特徴的類にどのように現れるか？
• RQ4 ヤノ接続を用いて構成された星積は、ケーラーの場合に既知の変数分離型星積に還元されるか？
• RQ5 特徴的類 $[\varkappa]$ は、ほぼケーラー構造の幾何的不変量のみで表現可能か？

主な発見

• ヤノ接続を用いてほぼケーラー多様体上に構成された星積は微分的かつ正規化されており、$C_1(f,g) = (i/2)\{f,g\}$ を満たす。
• 星積の特徴的類は $[\varkappa] = -(1/2i)\varepsilon$ であり、ここで $\varepsilon$ はほぼ複素構造の標準類である。
• 曲率項 $\varkappa$ は $\varkappa = -i\Delta(R + \nabla r^{(2)})$ として計算され、$\Delta$ は Hochschild次数の射影を表す。
• 形式 $\lambda = \Delta(\nabla r^{(2)})$ は完全であり、$d\mu$ に等しく、$\mu = (1/6)J^t_s T^s_{tl} dx^l$ で与えられる全域的1次形式 $\mu$ を持つため、特徴的類の計算が一貫している。
• ケーラーの場合には、星積は既知の変数分離型星積と一致し、従来の結果と整合性が確認される。
• 標準類 $\varepsilon$ は、複素化接バンドルの $(1,0)$-部分バンドルの第一チャーン類として定義され、特徴的類に現れるこの性質により、ケーラーの場合の公式がほぼケーラーの場合に一般化される。