[論文レビュー] Almost Linear Time Computation of Maximal Repetitions in Run Length Encoded Strings

Keita Kuboi, Yuta Fujishige+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Algorithms and Data Compression参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2つの文字列 A と B の最長共通部分列 (LCS) を計算する O(mN + nM)-time アルゴリズムを提示する。この LCS は、与えられた制約文字列 C を部分文字列として含む必要がある（STR-IC-LCS）もので、m と n は A と B のランレングス符号化 (RLE) 形式のサイズを表す。RLE を活用して冗長な計算を削減し、最適化された区間組み合わせを用いたコンパクトな動的計画法テーブルを用いることで、特に圧縮可能な文字列において、標準的な O(MN) アプローチよりも高速な性能を達成する。

ABSTRACT

The constrained LCS problem asks one to find a longest common subsequence of two input strings $A$ and $B$ with some constraints. The STR-IC-LCS problem is a variant of the constrained LCS problem, where the solution must include a given constraint string $C$ as a substring. Given two strings $A$ and $B$ of respective lengths $M$ and $N$, and a constraint string $C$ of length at most $\min\{M, N\}$, the best known algorithm for the STR-IC-LCS problem, proposed by Deorowicz~({\em Inf. Process. Lett.}, 11:423--426, 2012), runs in $O(MN)$ time. In this work, we present an $O(mN + nM)$-time solution to the STR-IC-LCS problem, where $m$ and $n$ denote the sizes of the run-length encodings of $A$ and $B$, respectively. Since $m \leq M$ and $n \leq N$ always hold, our algorithm is always as fast as Deorowicz's algorithm, and is faster when input strings are compressible via RLE.

研究の動機と目的

• 与えられた制約文字列 C を部分文字列として含む必要がある STR-IC-LCS 問題に対して、より高速なアルゴリズムを開発すること。
• ランレングス符号化 (RLE) を活用して入力文字列を圧縮し、計算複雑度を低減すること。
• Deorowicz (2012) が提唱した STR-IC-LCS 問題における最良の O(MN) 時間アルゴリズムを改善すること。
• RLE を用いた手法が、人工的なケースにとどまらず、音楽や時系列データなどの分野において実用的であることを示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、入力文字列 A, B, C をランレングス符号化 (RLE) で表現し、それぞれの実効サイズを m, n, |RLE(C)| に削減する。
• RLE ステージの接頭辞および接尾辞の LCS 長を格納するコンパクトな動的計画法テーブル（cDP テーブル）を導入する。
• A と B における C を部分文字列として含む最小の C-区間（minimal C-intervals）を特定し、ランタイプに基づいて同値類にグループ化する。
• 補題 13 を活用することで、取り扱う区間の組み合わせ数を O(gg') から O(mN + nM) に削減する。ここで g と g' は最小 C-区間の数を表す。
• 補題 9 を用いて、cDP テーブルを O(1) 時間/ペアで用い、各関連する最小 C-区間ペアの LCS 長を計算する。
• cDP テーブルをバックトラックし、RLE ステージをマージすることで、O(m + n) 時間で実際の STR-IC-LCS を復元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランレングス符号化を用いることで、STR-IC-LCS 問題を O(MN) よりも速く解くことは可能か？
• RQ2 RLE 圧縮された文字列の構造をどのように活用すれば、LCS の冗長計算を削減できるか？
• RQ3 元の文字列長 M と N ではなく、RLE のサイズ m と n にスケーリングする動的計画法アプローチを設計可能か？
• RQ4 STR-IC-LCS のような制約付き LCS 問題において、RLE を用いることで得られる理論的および実用的性能向上は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、RLE で圧縮可能な文字列において、Deorowicz の O(MN) アルゴリズムよりも漸近的に高速な O(mN + nM) 時間で STR-IC-LCS の長さを計算する。
• この高速化は、最小 C-区間の構造的性質と cDP テーブルを活用することで、取り扱う区間の組み合わせ数を O(mN + nM) に削減することによって達成される。
• 最適な C-区間ペアを格納・バックトラックすることで、事前処理後、O(m + n) 時間で実際の STR-IC-LCS を効率的に再構成できる。
• RLE は音楽、時系列データ（例：SAX）など、データが離散化され繰り返しの多い分野で自然に現れるため、本手法は人工的ケースにとどまらない応用が可能である。
• |RLE(C)| = 1 の場合でも、同様の時間計算量を維持し、正しく動作することが保証される。
• 圧縮可能な文字列では、m ≤ M かつ n ≤ N が常に成り立つことから、m や n が M や N よりも著しく小さくなる場合に顕著な実測的利得が得られることが期待される。