[論文レビュー] Almost-Linear-Time Weighted 𝓁_p-Norm Solvers in Slightly Dense Graphs via Sparsification

Deeksha Adil, Brian Bullins+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Matrix Theory and Algorithms参考文献 43被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、わずかに稠密なグラフ（m ≥ n^{4/3+o(1)}）における重み付き ℓp-ノルムフローおよび電圧問題を解く、ほぼ線形時間のアルゴリズムを提示する。これは、混合 ℓ²² + ℓpᵖ 目的関数に対する革新的なスパース化技術を用いる。フローアルゴリズムでは拡張子分解を、電圧アルゴリズムではラベッジスコアサンプリングを用いたグラフスパニヤーを用いてスパーシファイアを構築し、(1 + 2^{−poly(log n)})-近似解を p(m^{1+o(1)} + n^{4/3+o(1)}) 時間で得る。従来の内点法に依存する手法とは異なり、Ω(n^{3/2}) の障壁を克服した。

ABSTRACT

We give almost-linear-time algorithms for constructing sparsifiers with $n\ poly(\log n)$ edges that approximately preserve weighted $(\ell^{2}_2 + \ell^{p}_p)$ flow or voltage objectives on graphs. For flow objectives, this is the first sparsifier construction for such mixed objectives beyond unit $\ell_p$ weights, and is based on expander decompositions. For voltage objectives, we give the first sparsifier construction for these objectives, which we build using graph spanners and leverage score sampling. Together with the iterative refinement framework of [Adil et al, SODA 2019], and a new multiplicative-weights based constant-approximation algorithm for mixed-objective flows or voltages, we show how to find $(1+2^{- ext{poly}(\log n)})$ approximations for weighted $\ell_p$-norm minimizing flows or voltages in $p(m^{1+o(1)} + n^{4/3 + o(1)})$ time for $p=ω(1),$ which is almost-linear for graphs that are slightly dense ($m \ge n^{4/3 + o(1)}$).

研究の動機と目的

• 内点法の制限を超える、重み付き ℓp-ノルム最小化フローおよび電圧問題に対するより高速で高精度なアルゴリズムの設計。
• 中程度に稠密なグラフにおける Ω(n^{3/2}) 時間障壁を克服するため、密行列更新を置き換えるスパースで効率的に構築可能なグラフスパーシファイアを導入すること。
• 単位重みに限らない一般の辺重みを伴う ℓ²² と ℓpᵖ ノルムを含む混合目的関数へのラプラシアンパラダイムの拡張。
• スパース化と反復修正の間の明確でモジュラーなインターフェースを提供し、従来の内点法に基づく手法と比較して解析を簡素化すること。

提案手法

• 拡張子分解を用いて、重み付き ℓ²² + ℓpᵖ フロー目的関数のスパーシファイアを構築し、(ℓ²² + ℓpᵖ) フロー目的関数が (1 + o(1)) 因子内で保存されることを保証する。
• グラフスパニヤーとラベッジスコアサンプリングを用いて、電圧目的関数のスパーシファイアを構築し、(ℓ²² + ℓpᵖ) 電圧目的関数が保存されることを保証する。
• Adil ら (SODA 2019) の反復修正フレームワークにこれらのスパーシファイアを統合し、高精度な解を得る。
• 混合目的関数のフロー／電圧問題に対する新しい乗法的重みベースの定数近似アルゴリズムを、出発点として採用する。
• スパース化を用いて問題サイズを縮小しながら近似保証を維持し、再帰的適用を可能にする。
• 適応的スケーリングを用いた残差問題フレームワークを採用し、スパース化された部分問題を近似的に解き、それらを組み合わせて高精度な解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の辺重みを伴う混合 ℓ²² + ℓpᵖ 目的関数に対して、スパース化技術を ℓpᵖ の単位重みに限らず拡張可能か？
• RQ2 わずかに稠密なグラフ（m ≥ n^{4/3+o(1)}）における高精度 ℓp-ノルムフローおよび電圧問題に対して、ほぼ線形時間のアルゴリズムを達成可能か？
• RQ3 この混合ノルム設定において、フローおよび電圧目的関数の両方のスパーシファイアを構築可能か？また、それらの構築方法はどのように異なるか？
• RQ4 スパース化を反復修正と組み合わせることで、密行列の内点法が引き起こす Ω(n^{3/2}) 障壁を回避可能か？
• RQ5 (1 + 2^{−poly(log n)})-近似解を達成する際の、スパース化の品質と計算コストの最適なトレードオフは何か？

主な発見

• p = ω(1) の場合、重み付き ℓp-ノルム最小化フローおよび電圧問題に対して、(1 + 2^{−poly(log n)})-近似解を p(m^{1+o(1)} + n^{4/3+o(1)}) 時間で達成した。
• m ≥ n^{4/3+o(1)} のグラフに対して、実行時間はほぼ線形であり、従来の二部マッチングに関する eO(m + n^{3/2}) 時間の手法を改善した。
• フロー目的関数のスパーシファイアは拡張子分解を用いて構築され、(ℓ²² + ℓpᵖ) フロー目的関数が保存されることを保証する。
• 電圧目的関数のスパーシファイアはグラフスパニヤーとラベッジスコアサンプリングを用いて構築され、(ℓ²² + ℓpᵖ) 電圧目的関数が保存されることを保証する。
• 古典的な内点法とは異なり、密行列の双対更新に起因する Ω(n^{3/2}) のオーバーヘッドを回避し、顕著な高速化を達成した。
• スパース化を反復修正への明確なインターフェースとして用いることで、解析が簡素化され、内点法統合の複雑さを回避した。