[論文レビュー] Almost localization and almost reducibility

Artur Avila, Svetlana Jitomirskaya|ArXiv.org|May 12, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、小スケールの解析的ポテンシャルおよびディオファントス周波数を有する準周期的シュレーディンガー作用素に対して、アブリュ双対性の定量的版を構築することで、ほぼ可約性および完全局在化を確立し、状態密度関数の1/2-ホルダー連続性を証明し、非摂動的領域における「干からびた」十のマーチン問題を解決する。

ABSTRACT

We develop a quantitative version of Aubry duality and use it to obtain several sharp estimates for the dynamics of Schrödinger cocycles associated to a non-perturbatively small analytic potential and Diophantine frequency. In particular, we establish the full version of Eliasson's reducibility theory in this regime (our approach actually leads to improvements even in the perturbative regime: we are able to show, for all energies, ``almost reducibility'' in some band of analyticity). We also prove 1/2-Hölder continuity of the integrated density of states. For the almost Mathieu operator, our results hold through the entire regime of sub-critical coupling and imply also the dry version of the Ten Martini Problem for the concerned parameters.

研究の動機と目的

• 局所化または可約性が失敗するエネルギーにおいても、定量的推定が欠落していた従来の双対性手法の限界を克服すること。
• エリアッソンの摂動的可約性理論を、すべてのディオファントス周波数およびスペクトル内すべてのエネルギーに対して有効な非摂動的領域に拡張すること。
• 統合状態密度関数の1/2-ホルダー連続性——重要なスペクトル的正則性性質——を確立すること。
• すべての準周期的シュレーディンガー作用素に対して、非摂動的領域における「干からびた」十のマーチン問題を解決すること。
• 代数的双対性では到達できなかった、ゼロ測度の「悪い」エネルギー集合も含む、スペクトル全体を分析するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 双対モデルのスペクトル的性質（局在化）と元のモデルの力学的性質（可約性）を結びつける定量的アブリュ双対性を構築すること。
• ルーシェの定理と三角多項式の次数の上限を用いて、遷移行列の成長を制御し、一様推定を得ること。
• 改良された推定を用いたKAM型スキームを適用し、完全可約性が失敗する場合でさえ、すべてのエネルギーに対してほぼ可約性を達成すること。
• 摂動下での関連する三角多項式の次数の制御により、遷移行列のノルムの境界を確立すること。
• コhomological方程式の解法と共役化技術を用いて、コサイクルを指数的誤差が小さい定数に近い形に還元すること。
• 周波数のディオファントス条件を活用し、小分母を制御し、反復的スキームの収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準周期的シュレーディンガー作用素のスペクトル全体（局在化や可約性が失敗するエネルギーを含む）を分析できる定量的双対性理論を構築できるか？
• RQ2 エリアッソンの摂動的可約性結果を、周波数のディオファントス性質に依存しない非摂動的領域に拡張できるか？
• RQ3 小スケールの解析的ポテンシャルにおける統合状態密度関数の最良の連続モジュラスは何か？
• RQ4 すべての準周期的シュレーディンガー作用素に対して、「干からびた」十のマーチン問題は、全サブ臨界結合定数領域で成立するか？
• RQ5 完全可約性が成立しない状況においても、すべてのエネルギーにわたってほぼ可約性を一様に確立できるか？

主な発見

• 著者らは、小スケールの解析的ポテンシャルおよびディオファントス周波数を有する準周期的シュレーディンガー作用素に対して、統合状態密度関数の1/2-ホルダー連続性を確立した。
• 完全可約性が失敗する場合でさえ、定量的双対性フレームワークを構築することで、スペクトル内すべてのエネルギーに対してほぼ可約性を証明した。
• エリアッソンの可約性理論の完全版が、すべてのディオファントス周波数に対して有効な非摂動的領域に拡張された。
• ほぼマチウ作用素に対して、結果は全サブ臨界結合定数領域にわたり成立し、「干からびた」十のマーチン問題が解決された。
• 摂動的領域においても、改善された推定が得られ、すべてのエネルギーに対して、解析的領域のバンド内でのほぼ可約性が成立することが示された。
• 遷移行列の次数は、解析的半径の逆数の線形関数で抑えられ、これによりルーシェの定理による一様制御が可能になった。