[論文レビュー] Almost orthogonality and Hausdorff interval topologies of atomic lattice effect algebras

Jan Paseka, Zdenka Riečanová+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、アーチメデス的原子的ラティス効果代数における区間位相がハウスドルフであるための必要十分条件として、原子の集合がほとんど直交することを特定し、完全な場合に順序連続性および順序位相と区間位相の位相的一致を導く。さらに、ブロック有限代数において、ほとんど直交性とs-コンパクト生成の同値性を示し、状態のスメアリング定理と両位相における⊕演算の連続性を確立する。

ABSTRACT

We prove that the interval topology of an Archimedean atomic lattice effect algebra $E$ is Hausdorff whenever the set of all atoms of $E$ is almost orthogonal. In such a case $E$ is order continuous. If moreover $E$ is complete then order convergence of nets of elements of $E$ is topological and hence it coincides with convergence in the order topology and this topology is compact Hausdorff compatible with a uniformity induced by a separating function family on $E$ corresponding to compact and cocompact elements. For block-finite Archimedean atomic lattice effect algebras the equivalence of almost orthogonality and s-compact generation is shown. As the main application we obtain the state smearing theorem for these effect algebras, as well as the continuity of $\oplus$-operation in the order and interval topologies on them.

研究の動機と目的

• アーチメデス的原子的ラティス効果代数における区間位相がハウスドルフである条件を同定すること。
• ブロック有限効果代数におけるほとんど直交性、s-コンパクト生成および位相的性質の関係を調査すること。
• 完全な効果代数において順序収束と位相的収束が一致する条件を確立すること。
• ほとんど直交的でブロック有限かつアーチメデス的原子的ラティス効果代数に対して、状態のスメアリング定理を証明すること。
• これらの構造における⊕演算が、区間位相および順序位相の両方で連続であることを示すこと。

提案手法

• ブロック有限なアーチメデス的原子的ラティス効果代数を完全効果代数へ拡張するためにMacNeille完備化を用いる。
• Frinkの定理を適用して、区間位相のコンパクト性とラティスの完備性を関連付ける。
• 原子の集合に対するほとんど直交性を、位相的分離を保証する条件として定義する。
• 有向集合内での有限部分被覆の存在を満たす要素をs-コンパクト要素として定義し、s-コンパクト生成を可能にする。
• 効果代数$E$をそのMacNeille完備化$ ext{MC}(E)$に埋め込むことにより、位相的および順序理論的性質を移行させる。
• 既知の$(o)$-連続状態およびその拡張に関する結果を活用して、状態のスメアリング定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーチメデス的原子的ラティス効果代数における区間位相がハウスドルフである条件は何か？
• RQ2 ブロック有限なアーチメデス的原子的ラティス効果代数において、ほとんど直交性とs-コンパクト生成はどのように関係しているか？
• RQ3 このような効果代数において、順序収束と位相的収束が一致するのはいつか？
• RQ4 効果代数の有限部分における$(o)$-連続状態は、全体の代数へ拡張可能か？
• RQ5 これらの効果代数における⊕演算は、区間位相および順序位相の両方で連続か？

主な発見

• アーチメデス的原子的ラティス効果代数における区間位相がハウスドルフであるための必要十分条件は、原子の集合がほとんど直交することである。
• この場合、代数は順序連続であり、完全な場合には区間位相と順序位相が一致し、コンパクトハウスドルフ位相をなす。
• 完全な効果代数において、位相はコンパクトおよびココンパクトな要素に基づく関数の分離族から誘導される一様構造と相性が良い。
• ブロック有限なアーチメデス的原子的ラティス効果代数において、ほとんど直交性は、有限要素によるs-コンパクト生成と同値である。
• 状態のスメアリング定理が成り立つ：$E_1$における$(o)$-連続状態は、全体の代数$E$およびそのMacNeille完備化$ ext{MC}(E)$へ$(o)$-連続状態へ拡張可能である。
• これらの効果代数において、⊕演算はMacNeille完備化における収束を用いて、区間位相および順序位相の両方で連続であることが示された。