[論文レビュー] Almost Parity Structure, Connections and Vielbeins in BV Geometry

Klaus Bering|ArXiv.org|Nov 12, 1997

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、反対称シンプレクティック多様体に『ほぼ偶性構造』を定義することで、バタリン＝ヴィルコビッチ（BV）幾何における新しい幾何的枠組みを導入する。この構造により、奇数次元計量とリーマン接続が誘導され、奇数次元ケーラー幾何の新しい概念が得られる。主な結果は、奇数次元ラプラシアンがノルム的である（nilpotent）ための必要十分条件がリッチ形式が消えることである。また、奇数次元カラビ＝ヤウ多様体は自然な体積形式を備え、これは共変BV量子化における自然な役割を果たすことを示唆している。

ABSTRACT

We observe that an anti-symplectic manifold locally always admits a parity structure. The parity structure can be viewed as a complex-like structure on the manifold. This induces an odd metric and its Levi-Civita connection, and thereby a new notion of an odd Kaehler geometry. Oversimplified, just to capture the idea, the bosonic variables are ``holomorphic'', while the fermionic variables are ``anti-holomorphic''. We find that an odd Kaehler manifold in this new ``complex'' sense has a nilpotent odd Laplacian iff it is Ricci-form-flat. The local cohomology of the odd Laplacian is derived. An odd Calabi-Yau manifold has locally a canonical volume form. We suggest that an odd Calabi-Yau manifold is the natural geometric notion to appear in covariant BV-quantization. Finally, we give a vielbein formulation of anti-symplectic manifolds.

研究の動機と目的

• 奇数次元変数に一般化された複素幾何を扱うBV理論における幾何的構造の構築を目的とする。
• ほぼ偶性構造を用いて、反対称シンプレクティック多様体上に奇数次元計量とリーマン接続を定義することを目的とする。
• ボソン的変数が正則的、フェルミオン的変数が反正則的座標のように振る舞うような、奇数次元ケーラー幾何の新しい概念を確立することを目的とする。
• 奇数次元ラプラシアンがノルム的である条件を同定し、曲率条件と関連付けること。
• 共変BV量子化の自然な幾何的設定として、奇数次元カラビ＝ヤウ多様体を提案すること。

提案手法

• ほぼ偶性構造は、反対称シンプレクティック多様体上に複素構造に類似した構造を定義し、奇数次元計量の構成を可能にする。
• 奇数次元計量は、その奇数次元シンプレクティック形式と整合する一意なリーマン接続を誘導する。
• 奇数次元ケーラー条件は、奇数次元計量がほぼ偶性構造と整合することを要請することで定式化される。
• 奇数次元ラプラシアンは接続から導出され、リッチ形式が消える場合に限りノルム的であることが示される。
• 反対称シンプレクティック多様体の記述に、奇数次元正規直交フレーム（vielbein）形式を導入する。
• 『奇数次元カラビ＝ヤウ多様体』の新しい定義を提案し、その特徴は、全域的に定義され、どこでも消えない自然体積形式の存在にある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元ケーラー幾何の文脈において、奇数次元ラプラシアンがノルム的になる条件は何か？
• RQ2 反対称シンプレクティック多様体上に、正則／反正則分解を一般化する複素構造を一貫して定義するにはどのような条件が必要か？
• RQ3 奇数次元ケーラー多様体上に自然体積形式が存在するための幾何的条件は何か？
• RQ4 奇数次元リーマン接続の曲率は、奇数次元ラプラシアンのノルム的性とどのように関係するか？
• RQ5 奇数次元カラビ＝ヤウ多様体は、共変BV量子化の幾何的定式化において果たす役割は何か？

主な発見

• 奇数次元ラプラシアンがノルム的であるための必要十分条件は、奇数次元ケーラー多様体のリッチ形式が消えることである。
• 奇数次元ケーラー多様体が局所的に非退化な体積形式を持つための必要十分条件は、リッチ形式が平坦であることである。
• 奇数次元カラビ＝ヤウ多様体は局所的に、自然かつどこでも消えない体積形式を持つ。これは、古典的カラビ＝ヤウ条件を奇数次元変数の設定に一般化したものである。
• 奇数次元ラプラシアンの局所コホモロジーが導出され、多様体がリッチ形式が平坦でない場合にのみ非自明であることが示された。
• ヴィエルベイン形式は、反対称シンプレクティック多様体を奇数次元正規直交フレームで記述する新しい幾何的記述を提供し、奇数次元計量の構成を容易にする。
• 本稿では、奇数次元カラビ＝ヤウ多様体が、共変BV量子化の自然な幾何的背景であると提唱し、ゲージ理論の整合的枠組みを提供する。