[論文レビュー] Almost partitioning 2-coloured complete 3-uniform hypergraphs into two monochromatic tight or loose cycles

Sebastián Bustamante, Hiệp Hàn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、十分に多くの頂点を持つ完全3-一様超グラフの辺を2色に塗り分ける任意の方法に対して、すべての頂点のうち高々ηn個を除き、異なる色の2つの頂点を共有しない単色のタイトまたはロoseなサイクルが存在することを証明している。ここでη > 0は任意の正数である。この結果は超グラフ正則性補題と、稠密な超グラフにおける単色連結マッチングの構成に依存している。

ABSTRACT

We show that for every η > 0 there exists an integer n_0 such that every 2-colouring of the 3-uniform complete hypergraph on n \geq n_0 vertices contains two disjoint monochromatic tight cycles of distinct colours that together cover all but at most ηn vertices. The same result holds if we replace tight cycles with loose cycles.

研究の動機と目的

• 2色に塗られた3-一様超グラフに対する単色のタイトサイクルによる被覆に関する予想の近似版を確立すること。
• グラフにおける既知の単色サイクル被覆結果を、特にタイトおよびロoseなサイクルを含む3-一様超グラフへと拡張すること。
• 稠密な2色に塗られた3-一様超グラフにおいて、2つの頂点を共有しない単色の連結マッチングがほとんどすべての頂点を被覆できることを示すこと。
• サイクルの長さの偶奇を事前に指定できるように構成できることを示し、タイトおよびロoseなサイクルの両方の結果を導出可能にする。

提案手法

• 問題を正則性および密度条件を満たす有界構造の設定に還元するために、超グラフ正則性補題を適用する。
• 正則性の性質を用いて、縮小された超グラフにおける連結成分を特定し、単色の連結マッチングを構成する。
• 補題3.3を用いて、マッチングの辺に対応する正則な三重対に長いタイトパスを埋め込むことで、ほとんどすべての頂点を被覆する。
• 隣接する三重対の間の禁止されていない辺を用いて短いタイトサイクルを構築し、構築過程で頂点集合の重複を避けることで、頂点を共有しないことを保証する。
• 初期のサイクルに含まれる短いパスを、所望の偶奇を持つ長いパスに置き換えるS-回避構成を用いる。この過程で頂点を共有しない性質を維持する。
• 例外集合およびマッチングの被覆されない部分に含まれる頂点数の上限を用いて誤差項を制御し、未被覆頂点の総数が高々ηnとなるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2色に塗られた完全3-一様超グラフは、2つの異なる色の単色のタイトサイクルにほぼ分割可能か？
• RQ2 タイトサイクルをロoseサイクルに置き換えても、同じ結果が成り立つか？
• RQ3 サイクルの長さの偶奇を事前に指定して構成可能か？
• RQ4 2色に塗られた3-一様超グラフにおいて、すべての頂点のうちサブ線形個の頂点を除き、2つの頂点を共有しない単色のサイクルで被覆可能か？
• RQ5 このような分割において、未被覆の頂点数の最小値は何か？また、これはo(n)より良くできるか？

主な発見

• 任意のη > 0に対して、n₀が存在し、n ≥ n₀である任意のKₙ⁽³⁾の2色塗り分けにおいて、すべての頂点のうち高々ηn個を除き、異なる色の2つの頂点を共有しない単色のタイトサイクルが存在する。
• 同じ結論はロoseサイクルに対しても成り立ち、偶数長のタイトサイクルがロoseサイクルを含むことから、系1.2が導かれる。
• 構成法によりサイクル長の偶奇を制御可能であり、これは偶数長のタイトサイクル内にロoseサイクルが存在することを保証するために不可欠である。
• 未被覆頂点の数はηnで抑えられ、これは正則性補題およびS-回避パス埋め込みのきめ細かな適用によって達成される。
• 証明により、任意の2色に塗られた3-一様超グラフ（頂点数t、辺数が少なくとも(1−γ) binom(t,3)）において、2つの頂点を共有しない単色の連結マッチングが少なくとも(1 − 290γ¹ᐟ⁶)t個の頂点を被覆できることを示した。
• 誤差項ηnは、例外集合、マッチングの被覆されない部分、および正則性フレームワークの寄与から生じる。十分に大きなnに対して、総誤差はηnで抑えられる。