[論文レビュー] Almost partitioning the hypercube into copies of a graph

Vytautas Gruslys, Shoham Letzter|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の超立方体 $Q_k$ の誘導部分グラフ $H$ が、超立方体 $Q_n$ を誘導部分グラフ $H$ のコピーにほぼ分割可能であることを確立している。この分割において、未被覆の頂点数は $O(n^c)$ 未塔、$c = c(H)$ である。さらに、この誤差項は $/log n$ より小さくはならないことが示され、$(P_3)^3$ のような特定のグラフに対してはタイトな下界が得られた。これらの結果により、超立方体グラフにおけるほぼ完全なタイリング結果が拡張され、特定の部分グラフに対して誤差項の最小性に関する予想が解決された。

ABSTRACT

Let $H$ be an induced subgraph of the hypercube $Q_k$, for some $k$. We show that for some $c = c(H)$, the vertices of $Q_n$ can be partitioned into induced copies of $H$ and a remainder of at most $O(n^c)$ vertices. We also show that the error term cannot be replaced by anything smaller than $\log n$.

研究の動機と目的

• 固定された $H$ が $Q_k$ の誘導部分グラフであるとき、超立方体 $Q_n$ における $H$-パッキングの最大サイズを特定すること。
• このようなパッキングにおける未被覆頂点数の上界を確立すること。
• 超立方体 $Q_n$ を $H$ のコピーにほぼ分割する際の誤差項を $/log n$ より小さくできるか否かを調査すること。
• $(P_3)^3$ のような特定のグラフに対して、誤差項の最小性を構成的下界により解明すること。
• 既知の完全タイリング結果を、超立方体におけるほぼ完全パッキングへと拡張すること。

提案手法

• 超立方体の積構造、特に $(P_{2|H|})^n$ を用いて、Gruslys, Leader, および Tomon の積空間タイリングに関する結果を応用し、$H$ の誘導コピーへの完全パッキングを構成する。
• $Q_n$ にハミルトンパスを構成し、長さ $l$ のセグメントに分解することで初期の非誘導コピー $(P_l)^t$ を得た後、誘導コピーが保証されるように精緻化する。
• $\{0,1\}^n$ における分離系の応用により、任意の $(P_3)^3$-パッキングは少なくとも $\log n$ 個の頂点を未被覆にしなければならないことを証明する。
• 余次元サブキューブと交差解析を用いて、$H$ の誘導コピーが特定の配置にしか被覆できないことを示し、避けられない未被覆頂点が生じることを導く。
• 背理法と極値組合せ論を用いて、$(P_3)^3$-パッキングにおける未被覆頂点数が $\log n$ 以上であることを示し、未被覆頂点集合の分離族性質を用いる。
• $(P_{2|H|})^n$ における完全 $H$-パッキングと $Q_n$ に対する被覆議論を組み合わせることで、一般の $H$ に対して $O(n^c)$ の誤差項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された誘導部分グラフ $H \subseteq Q_k$ に対して、超立方体 $Q_n$ を誘導コピーにほぼ分割可能か？ その際の誤差項は小さいか？
• RQ2 このようなほぼ分割における最小誤差項は何か？ また、$n$ に依存しない形で有界にできるか？
• RQ3 $H$ に対して誤差項 $O(n^c)$ はタイトか？ あるいは定数や $\log n$ に改善可能か？
• RQ4 $(P_3)^3$ に対して、任意の $Q_n$ パッキングにおいて未被覆頂点数の下界が $\log n$ であることは最良か？
• RQ5 $Q_n$ に、任意の $l$ 個の連続頂点がパス $P_l$ を誘導するようなハミルトンパスが存在するか？

主な発見

• 任意の誘導部分グラフ $H \subseteq Q_k$ に対して、$Q_n$ における $H$-パッキングが存在し、未被覆頂点数は $O(n^c)$ 未塔、$c = c(H)$ である。これはほぼ完全タイリングの結果を裏付ける。
• 誤差項 $O(n^c)$ は、$(P_3)^3$-パッキングの事例によって、定数に改善できないことが示され、タイトである。
• $(P_3)^3$ に対して、任意の $Q_n$ パッキングは少なくとも $\log n$ 個の頂点を未被覆にしなければならず、誤差項は $\log n$ より小さくはならない。
• $(P_3)^3$-パッキングにおける未被覆頂点集合は $[n]$ の分離系を形成する。この性質により、既知の極値組合せ論から $\log n$ の下界が導かれる。
• $(P_{2|H|})^n$ における完全 $H$-パッキングの構成と、$Q_n$ に対する被覆議論を組み合わせることで、$Q_n$ における $O(n^c)$ の誤差項が得られる。
• 本稿では、$(P_l)^t$-パッキングにおける $O(n^{t-1})$ の誤差項が、$/log n$ が $t=3$ の場合の下界であることを踏まえ、対数的要因を除いて最良であることが示された。