[論文レビュー] Almost periodic discrete sets

S. Favorov, Ye. Kolbasina|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2010

advanced mathematical theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ℝᵏ内に存在するほぼ周期的離散集合を、特別な距離関数を用いた幾何的・距離論的枠組みで特徴づける手法を提案する。この研究では、ほぼ周期的集合の空間の完備性を確立し、ほぼ周期性に関するボフナーの基準の類似形を証明する。具体的には、離散集合がほぼ周期的であることと、その関連するディラック測度がほぼ周期的であることの同値性を示し、離散集合とほぼ周期的測度の間の関係を明確にしている。

ABSTRACT

Using a special metric in the space of sequences, we give a geometric description of almost periodic sets in the $k$-dimensional Euclidean space. We prove the completeness of the space of almost periodic sets and some analogue of the Bochner criterion of almost periodicity. Also, we show the connection between these sets and almost periodic measures.

研究の動機と目的

• k次元ユークリッド空間におけるほぼ周期的離散集合の幾何的・距離論的特徴づけを提供すること。
• 新しい距離関数を用いた離散集合の列に対する距離空間としての、ほぼ周期的集合の空間の完備性を確立すること。
• 離散集合の文脈における、ボフナー基準の類似形を構築すること。
• ほぼ周期的離散集合とほぼ周期的測度との関係を明確にすること。

提案手法

• すべての双対写像の下での点対間距離の上界の下限を用いて、離散多重集合間の距離を定義する。
• 離散集合のε-ほぼ周期を、ある双対写像の下で近接性を保つ平行移動として定義する。
• 測度の弱い一様収束とコンパクト-suppotをもつ連続関数との畳み込みを用いて、極限の挙動を分析する。
• ほぼ周期関数に対するボフナー基準を、平行移動された集合の列とその関連する測度に適用する。
• モリファイア（例：φ*μ）を用いた一様近似とコンパクト・サポートの議論により、測度の収束を証明する。
• 離散集合のほぼ周期性とその関連するディラック測度のほぼ周期性が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵏにおけるほぼ周期的離散集合を特徴づける幾何的・距離論的条件は何か？
• RQ2 提案された距離に関して、ほぼ周期的離散集合の空間は完備か？
• RQ3 ほぼ周期的離散集合に対して、ボフナー型基準を定式化できるか？
• RQ4 ほぼ周期的離散集合とほぼ周期的測度との関係は何か？
• RQ5 離散集合の収束が、その関連する測度の収束を意味するのはどのような条件下か？

主な発見

• 定義された列の距離に関して、ほぼ周期的離散集合の空間は完備である。
• 離散集合がほぼ周期的であることと、その関連するディラック測度がほぼ周期的であることとは同値である。
• ボフナー基準の類似形が成り立つ：離散集合がほぼ周期的であることと、任意の平行移動の列に対して、その平行移動された集合が定義された距離に関して部分列収束することとは同値である。
• 平行移動された集合の関連する測度の弱い一様収束は、距離に関して集合自体の収束を示唆する。
• 任意のコンパクト・サポートを持つ連続関数φに対して、集合の平行移動に伴いφ*μ_Dは一様に収束する。
• 収束の下で、任意の有界集合内にある離散集合の点数は一様に有界であり、トポロジカルな安定性が保証される。