[論文レビュー] Almost sure contraction for diffusions on $\\mathbb R^d$. Application to generalised Langevin diffusions

Pierre Monmarché|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定数の拡散行列をもつ $\mathbb{R}^d$ 上の拡散過程に対して、確率的収縮のほぼ確実性を確立し、決定的ドリフト収縮性が、すべての $p \in [1, \infty]$ に対して $\mathcal{W}_p$ ワイエルシュトラウス距離の指数的収縮と同値であることを証明する。この結果は、一般化されたランジュビン拡散に応用され、凸ポテンシャルおよび高摩擦下での収縮を示し、可逆性や超退化性の仮定を越えて既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

In the case of diffusions on $\\mathbb R^d$ with constant diffusion matrix, without assuming reversibility nor hypoellipticity, we prove that the contractivity of the deterministic drift is equivalent to the constant rate contraction of Wasserstein distances $\\mathcal W_p$, $p\\in[1,\\infty]$. It also implies concentration inequalities for ergodic means of the process. Such a contractivity property is then established for some non-equilibrium chains of anharmonic oscillators and for some generalised Langevin diffusions when the potential is convex with bounded Hessian and the friction is sufficiently high. This extends previous known results for the usual (kinetic) Langevin diffusion.

研究の動機と目的

• 定数の拡散行列をもつ $\mathbb{R}^d$ 上の拡散過程に対して、決定的ドリフト収縮性と $\mathcal{W}_p$ ワイエルシュトラウス距離の指数的収縮との間の一般的同値性を確立すること。
• 可逆性や超退化性の仮定を越えて、既知の収縮結果を非平衡的な一般化されたランジュビン過程へと拡張すること。
• 一般化されたランジュビン拡散が、可逆性や超退化性がなくても、ほとんど確実に収縮するための条件を提供すること。
• ポテンシャルの凸性と十分に高い摩擦係数が、過剰減衰型および運動的ランジュビン拡散に関する既存の結果を一般化するのに十分であることを示すこと。

提案手法

• 勾配収縮性とワイエルシュトラウス距離収縮性を結びつけるために、カップリングの議論と半群補間技術を用いる。
• 変更された形でのバクリ＝エメールの曲率枠組みを適用し、退化した拡散を扱うために縦方向のカルエ・デュ・シャンプ $\Gamma^Z$ を組み込む。
• 自己随伴半群の解析を可能にするために、修正された生成作用素 $\mathcal{L}^*$ と双対性の議論を用いる。
• 正定値行列 $K$ に関連するノルム $\|\cdot\|_K$ を導入し、力学と整合するリーマン幾何的構造を定義する。
• 行列不等式と作用素ノルムを用いて、自己随伴半群 $R_t$ のスペクトル境界を導出し、$\mathcal{W}_{K,2}$ 距離の指数的減衰を示す。
• 超弱化理論と双対性の結果を応用し、$\|P_t f\|_{L^2(\mu_\infty)} \leq \sqrt{\eta_t} \|f\|_{L^2(\mu_\infty)}$ が $\eta_t = 3|N^{-1}||N|e^{-2\rho t}$ を満たすことを示し、$L^2$ 減衰を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆性や超退化性を仮定しない一般の $\mathbb{R}^d$ 上の拡散過程に対して、決定的ドリフト収縮性は、$\mathcal{W}_p$ 距離の指数的収縮と同値であるか？
• RQ2 凸ポテンシャルと高摩擦をもつ一般化されたランジュビン拡散は、非可逆的であっても、ほとんど確実に収縮するか？
• RQ3 非平衡的拡散過程において、$\mathcal{W}_p$ 距離の指数的収縮を保証するポテンシャル $U$ と摩擦係数 $\gamma$ の条件は何か？
• RQ4 バクリ＝エメール曲率 $\rho = -\infty$ である場合、運動的拡散の収縮性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 標準的な曲率条件が成立しない場合に、双対性と修正された生成作用素を用いて $\mathcal{W}_p$ 距離の収縮を確立できるか？

主な発見

• 定数の拡散行列をもつ条件下で、可逆性や超退化性を仮定せず、すべての $p \in [1, \infty]$ に対して、決定的ドリフト収縮性が $\mathcal{W}_p$ 距離の指数的収縮と同値である。
• 一般化されたランジュビン拡散では、ポテンシャル $U$ が凸でヘッセ行列が有界であり、摩擦 $\gamma$ が十分に高い場合に収縮が成立する。
• 収縮率 $\rho > 0$ は、$U$ のヘッセ行列の有界性、摩擦 $\gamma$、および力学に関連する行列 $N$ の関数として明示的に評価可能である。
• 同じ条件下で、過程のエルゴード的平均に対する集中不等式を確立し、経路ごとの収縮性と統計的集中性を結びつける。
• 双対性に下での収縮結果は安定である：自己随伴半群 $R_t$ は $\|P_t f\|_{L^2(\mu_\infty)} \leq \sqrt{\eta_t} \|f\|_{L^2(\mu_\infty)}$ を満たし、$\eta_t = 3|N^{-1}||N|e^{-2\rho t}$ である。これは $L^2$ 減衰を示唆する。
• 縦方向のカルエ・デュ・シャンプ $\Gamma^Z$ を導入することで、非可逆的過程へとこの方法を拡張でき、標準的なバクリ＝エメール曲率が $-\infty$ であっても収縮推定が可能になる。