[論文レビュー] Almost sure convergence of a randomized algorithm for relative localization in sensor networks

Chiara Ravazzi, Paolo Frasca+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、センサーネットワークにおける相対位置決定のための完全に分散型で非同期な確率的ガスップアルゴリズムを提案する。エルゴディック理論を活用することで、ノード状態の時間平均が確率的にほぼ確実に最小二乗解に収束することを証明し、グローバルクロックや同期化を必要とせずに持続的でない振動を解消する。

ABSTRACT

This paper regards the relative localization problem in sensor networks. We study a randomized algorithm, which is based on input-driven consensus dynamics and involves pairwise "gossip" communications and updates. Due to the randomness of the updates, the state of this algorithm ergodically oscillates around a limit value. Exploiting the ergodicity of the dynamics, we show that the time-average of the state almost surely converges to the least-squares solution of the localization problem. Remarkably, the computation of the time-average does not require the sensors to share any common clock. Hence, the proposed algorithm is fully distributed and asynchronous.

研究の動機と目的

• 中央集権的調整やグローバル同期化が不要な分散型相対位置決定の課題に対処すること。
• グローバルクロックや反復カウンタを必要とせず、ノードが局所的でノイズのあるペアワイズ測定値のみを用いて相対位置を推定できる完全に非同期なアルゴリズムを開発すること。
• 標準的なガスップダイナミクスにおける持続的でないランダムな振動を、時間平均化操作を導入することで解消すること。
• エルゴディック理論を用いて、不変分布の期待値に時間平均状態がほぼ確実に収束することを確立すること。
• グローバルクロックや反復カウンタを必要としない実用的導入を可能にする。

提案手法

• ノイズのあるエッジ測定値を持つ連結グラフ上での最小二乗推定問題として相対位置決定問題を定式化する。
• 各ステップでランダムに選ばれた隣接ノードペアが、共通化に類似したルールに従って状態を更新する確率的ガスップアルゴリズムを設計する。
• 状態の進化を、i.i.d.なランダム行列とノイズベクトルによって駆動されるマルコフ過程としてモデル化する。
• 不変分布のほぼ確実な収束を確立するために、リャプノフ指数の条件を用いて後退過程を分析する。
• 前向き過程のエルゴディック性を証明し、状態の時間平均が不変分布の期待値にほぼ確実に収束することを示す。
• 過程の定常版に大数の法則を適用することで、時間平均推定値が最適解に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に分散型で非同期なガスップアルゴリズムは、相対位置決定において最適解にほぼ確実に収束できるか？
• RQ2 グローバル同期化を用いずに、確率的共通化ダイナミクスにおける持続的でない振動をどのように除去できるか？
• RQ3 確率的更新プロセスの不変分布の存在と一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 グローバル反復カウンタやクロックに依存せずに、時間平均化を用いて収束を達成できるか？
• RQ5 エルゴディック理論は、収束しないが振動的である確率的ダイナミクスの収束解析をどのように可能にするか？

主な発見

• ノード状態の時間平均が、相対位置決定問題の最小二乗解にほぼ確実に収束する。
• 収束は、グローバルクロックや反復カウンタを必要とせず、エルゴディック理論を用いて確立される。
• アルゴリズムを支配するマルコフ過程の不変分布は一意であり、最適解に対応する。
• 極限状態分布の期待値は最小二乗解に等しい：E[x∞] = L†A⊤b。
• 証明は、ランダム行列の積のリャプノフ指数をバウンディングすることに依存し、それが負であることを示すことで、後退過程のほぼ確実な収束を示す。
• アルゴリズムは完全に分散型で非同期的であり、ノード間の調整や同期化を必要としない。