[論文レビュー] Almost-sure exponential mixing of passive scalars by the stochastic Navier-Stokes equations

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、十分に大きな $ \sigma $ に対して非退化な $ H^\sigma $-正則ノイズの下で、トーラス上における確率的駆動 2D ナビエ＝ストークス方程式および 3D 超粘性ナビエ＝ストークス方程式の解によって運ばれる受動スカラーのほとんど確実な指数的混合を確立する。幾何的エルゴード性とねじれられたマルコフ半群のスペクトルギャップ解析を用いて、すべての平均ゼロの $ H^s $ スカラーが確率1で決定的かつ一様なレートで $ H^{-s} $-ノルムにおいて指数的に減衰することを証明し、クエンチド相関の崩壊を確認する。

ABSTRACT

We deduce almost-sure exponentially fast mixing of passive scalars advected by solutions of the stochastically-forced 2D Navier-Stokes equations and 3D hyper-viscous Navier-Stokes equations in $\mathbb T^d$ subjected to non-denegenerate $H^σ$-regular noise for any $σ$ sufficiently large. That is, for all $s > 0$ there is a deterministic exponential decay rate such that all mean-zero $H^s$ passive scalars decay in $H^{-s}$ at this same rate with probability one. This is equivalent to what is known as \emph{quenched correlation decay} for the Lagrangian flow in the dynamical systems literature. This is a follow-up to our previous work, which establishes a positive Lyapunov exponent for the Lagrangian flow-- in general, almost-sure exponential mixing is much stronger than this. Our methods also apply to velocity fields evolving according to finite-dimensional fluid models, for example Galerkin truncations of Navier-Stokes or the Stokes equations with very degenerate forcing. For all $0 \leq k < \infty $ we exhibit many examples of $C^k_t C^\infty_x$ random velocity fields that are almost-sure exponentially fast mixers.

研究の動機と目的

• 確率的ナビエ＝ストークス方程式によって駆動される流体の流れにおける受動スカラーのほとんど確実な指数的混合を確立すること。
• 従来の正のリャプノフ指数に関する結果を、ラグランジュ的流れにおけるより強いクエンチド相関の崩壊（指数的混合）に拡張すること。
• 無限次元流体モデルにおける非退化な $ H^\sigma $-正則ノイズの下で、受動スカラーの混合挙動を分析すること。
• 混合レートが確率的実現のすべてにおいて決定的かつ一様に成り立つことを示すこと。
• この枠組みを、ガラーキン截断されたナビエ＝ストークス方程式およびストークス方程式のような有限次元流体モデルへと拡張すること。

提案手法

• 粒子対の運動をモデル化する2点ラグランジュ的運動を用いて、相関の崩壊を分析する。
• 強フリードリッヒ性と再帰性の確認により、2点過程に対する幾何的エルゴード性理論を適用する。
• マルコフ過程の幾何的エルゴード性のドリフト条件を確認するため、関数 $ \mathcal{V} $ を構築する。
• ラソータ＝ヨルケ推定を用いて射影過程におけるスペクトルギャップを確立し、相関の指数的減衰を可能にする。
• 連続時間における相関の崩壊推定を得るために、流れに関連するねじれられたマルコフ半群を分析する。
• グローナルの不等式と流れのヤコビアンのモーメント推定を用いて、確率的力学系におけるノルムの成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的駆動 2D ナビエ＝ストークス方程式によって生成されるラグランジュ的流れは、受動スカラーのほとんど確実な指数的混合を示すか？
• RQ2 拡散係数が存在しない状況下でも、非退化な $ H^\sigma $-正則ノイズの下で、クエンチド相関の崩壊を確立できるか？
• RQ3 先行研究で得られた正のリャプノフ指数は、相関の指数的減衰といったより強い混合挙動をどの程度示唆するか？
• RQ4 この枠組みは、非常に退化した駆動を持つガラーキン截断のような有限次元流体モデルへと拡張可能か？
• RQ5 確率的混合レートの性質は何か？ また、確率的に一様に有界にできるか？

主な発見

• すべての $ s > 0 $ に対して、ある決定的定数 $ \hat{\gamma} > 0 $ が存在し、すべての平均ゼロの $ H^s $ 受動スカラーが $ H^{-s} $-ノルムにおいて確率1でレート $ e^{-\hat{\gamma}t} $ で減衰する。
• 混合レートは初期速度およびブラウン運動のパスに依存せず、初期振幅を制御する確率的定数 $ D(u,\omega) $ に依存する。
• 非退化な $ H^\sigma $-正則ノイズの下で、十分に大きな $ \sigma $ に対して、2D ナビエ＝ストークス方程式および 3D 超粘性ナビエ＝ストークス方程式の両方で指数的混合が成立する。
• この結果は、力学系の文脈におけるクエンチド相関の崩壊と同等であり、正のリャプノフ指数よりも強い条件である。
• この手法は $ C^k_t C^\infty_x $ の確率的速度場へも適用可能であり、多くのほとんど確実に指数的混合を示す流れが提示される。
• 確率的混合定数 $ D(u,\omega) $ のすべての $ p > 0 $ におけるモーメントは一様に有界であり、減衰推定の頑健性が保証される。