[論文レビュー] Almost sure optimal hedging strategy

Emmanuel Gobet, Nicolas Landon|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|May 16, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、停止時刻再調整戦略の下で、多次元 Itô モデルにおける離散化誤差の正規化された二次変動のほとんど確実な漸近的下界を確立する。また、この下界を漸近的に達成する、確率的楕円体に基づく到達時刻戦略の存在を証明し、ほとんど確実収束の下で、モデルおよびペイオフに依存しないロバストで最適なヘッジ戦略を提供する。

ABSTRACT

In this work, we study the optimal discretization error of stochastic integrals, in the context of the hedging error in a multidimensional Itô model when the discrete rebalancing dates are stopping times. We investigate the convergence, in an almost sure sense, of the renormalized quadratic variation of the hedging error, for which we exhibit an asymptotic lower bound for a large class of stopping time strategies. Moreover, we make explicit a strategy which asymptotically attains this lower bound a.s. Remarkably, the results hold under great generality on the payoff and the model. Our analysis relies on new results enabling us to control a.s. processes, stochastic integrals and related increments.

研究の動機と目的

• 確率的再調整時刻の下で、ヘッジにおける確率積分の最適離散化を扱う。
• 多次元 Itô モデルにおけるヘッジ誤差の正規化された二次変動のほとんど確実な下界を導出する。
• この下界をほとんど確実に漸近的に達成する停止時刻戦略を構築する。
• 決定的メッシュを超えた一般の停止時刻戦略、特に確率的楕円体の到達時刻を含む戦略への最適性結果の拡張。
• 局所ボラティリティやエグゾチックオプションを含む、広範なペイオフ関数および拡散モデルのクラスにわたるロバスト性を確保する。

提案手法

• 最適化基準として、再調整回数とヘッジ誤差の二次変動の積の正規化を用いる。
• 確率的楕円体の到達時刻に基づく停止時刻戦略のクラスを定義する：$\tau^{n}_{i} = \inf\{t \geq \tau^{n}_{i-1} : (S_t - S_{\tau^{n}_{i-1}}) \cdot H_{\tau^{n}_{i-1}} (S_t - S_{\tau^{n}_{i-1}}) = 1\} \land T$。
• マーティングール測度の下でヘッジ誤差の分布とモーメントを制御するために、Lenglart および Burkholder–Davis–Gundy 不等式を適用する。
• 一般の Itô 拡散設定における過程および増分のほとんど確実収束を制御するための高度な確率解析的手法を用いる。
• 非楕円型モデル（例：局所ボラティリティ、ルックバックオプション）を扱うために、遷移密度推定と擬微分型条件に依存する。
• 不規則なペイオフ関数および価格関数の境界効果を扱うために、滑らかなカットオフ関数と局所化の議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止時刻再調整戦略の下で、ヘッジ誤差の正規化された二次変動のほとんど確実な漸近的下界は何か？
• RQ2 この下界をほとんど確実に漸近的に達成する停止時刻戦略を構築できるか？
• RQ3 最適性結果は、モデルのダイナミクスとペイオフ構造にどのように依存するか、特に不連続またはエグゾチックなペイオフの場合に？
• RQ4 決定的時間メッシュを超えて、一般の停止時刻戦略への結果の拡張はどの程度可能か？
• RQ5 製品 $N^n_T \langle Z^n \rangle_T$ が尾挙動と $L_p$-モーメントの両方を制御するという事実を踏まえ、結果がヘッジコスト最小化に与える影響は何か？

主な発見

• 停止時刻戦略として確率的楕円体の到達時刻に基づく戦略のクラスにおいて、正規化されたヘッジ誤差積 $N^n_T \langle Z^n \rangle_T$ はほとんど確実な漸近的下界を有する。
• この下界は普遍的である：最小限の仮定（多次元 Itô 確率過程、一般ペイオフ関数（不連続を含む）、局所ボラティリティモデル）の下で成立する。
• 特定の戦略（確率的楕円体の到達時刻に基づくもの）は、ほとんど確実に漸近的にこの下界を達成し、ほとんど確実な意味で最適性が確立される。
• 拡散が一様に楕円的でなくても、擬微分型条件を満たしていれば、結果は成立する——これは Black–Scholes モデルや正のボラティリティを持つ局所ボラティリティモデルを含む。
• アジア型およびルックバックオプションなどのエグゾチックオプションは、高次元における擬微分型拡散に還元することで、解析に含める。
• 本稿は、Karandikar 方式が提案された戦略の特殊な場合であることを確立し、それをより広範な最適性枠組みに統合する。