[論文レビュー] $(\alpha_1,\alpha_2)$-Spaces and Clifford-Wolf Homogeneity

Ming Xu, Shaoqiang Deng|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、(α, β)-計量を一般化する新しいFinsler計量クラスである(α₁, α₂)-計量を導入し、同次空間の文脈におけるその幾何的性質を研究する。良い正規化データを定義し、S-曲率の公式を導出することで、コンパクトで連結で単純なリー群上の左不変(α₁, α₂)-計量が、制限的Clifford-Wolf同次的であるためには、特にV₂がカルタン部分代数または2次元可換部分代数である場合には、Riemann計量でなければならないことを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new type of Finsler metrics, called $(\alpha_1,\alpha_2)$-metrics. We define the notion of the good datum of a homogeneous $(\alpha_1,\alpha_2)$-metric and use that to study the geometric properties. In particular, we give a formula of the S-curvature and deduce a condition for the S-curvature to be vanishing identically. Moreover, we consider the restrictive Clifford-Wolf homogeneity of left invariant $(\alpha_1,\alpha_2)$-metrics on compact connected simple Lie groups. We prove that, in some special cases, a restrictively Clifford-Wolf homogeneous $(\alpha_1,\alpha_2)$-metric must be Riemannian. An unexpected interesting observation contained in the proof reveals the fact that the S-curvature may play an important role in the study of Clifford-Wolf homogeneity in Finsler geometry.

研究の動機と目的

• . Finsler幾何における(α, β)-計量の一般化として(α₁, α₂)-計量を導入し、定義する。
• . 同次(α₁, α₂)-計量の幾何的解析を容易にするために、『良い正規化データ』を定義する。
• . 同次(α₁, α₂)-空間のS-曲率の公式を導出し、その消滅条件を特定する。
• . コンパクトで連結で単純なリー群上の左不変(α₁, α₂)-計量の制限的Clifford-Wolf同次性を調査する。
• . 特定の部分代数分解条件の下で、このような計量がRiemann的でなければならないことを証明する。特に、V₂がカルタン部分代数または2次元可換部分代数である場合に注目する。

提案手法

• . 接束を部分束V₁とV₂にα-直交分解することで、(α₁, α₂)-計量を導入する。
• . 計量の同次性と整合するように、良い正規化データを定義する。
• . fを正の滑らかで1次同次関数であるとして、Finsler構造F = f(α₁, α₂)を用いる。
• . S-曲率の明示的公式を、計量の幾何的データとリー代数構造に基づいて導出する。
• . 恒等長のキリングベクトル場とWeyl群作用の技術を用いて、CW同次性を分析する。
• . リー代数のルート系解析（Bₙ, Cₙ, F₄, E₆, E₇, E₈型）を用いて、直交するルート配置の非存在を証明し、非Riemann的状況で矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 同次(α₁, α₂)-計量のS-曲率が恒等的に0であるのはどのような条件下か？
• RQ2 . コンパクトで連結で単純なリー群上の非Riemann的左不変(α₁, α₂)-計量が、制限的Clifford-Wolf同次的になれるか？
• RQ3 . S-曲率はFinsler幾何におけるClifford-Wolf同次性を決定づける上でどのような役割を果たすか？
• RQ4 . 例えばカルタン部分代数または2次元可換部分代数のような部分代数分解の選択が、制限的CW同次性の可能性にどのように影響するか？
• RQ5 . 特定の対称性制約が欠如する状況において、非Riemann的(α₁, α₂)-計量が制限的CW同次性条件を満たすことがあるか？

主な発見

• . 同次(α₁, α₂)-計量のS-曲率は、計量関数fと分解の幾何的性質を含む閉形式の式で与えられる。
• . S-曲率が恒等的に0であるのは、関数fが部分束V₁とV₂に関して特定の対称性条件を満たす場合に限る。
• . コンパクトで連結で単純なリー群において、V₂が次元>1のカルタン部分代数である制限的Clifford-Wolf同次的左不変(α₁, α₂)-計量は、Riemann計量でなければならない。
• . 同様に、V₂が2次元可換部分代数である場合にも、このような計量はRiemann計量でなければならない。
• . 証明から、S-曲率は制限的CW同次性下での非Riemann的挙動を検出する上で重要な不変量であることが明らかになった。
• . ルート系のすべてのケース（Bₙ, Cₙ, F₄, E₆, E₇, E₈）において、UまたはXに直交しない4つのルートの存在を仮定すると矛盾が生じるため、Riemann構造の必要性が確認された。