[論文レビュー] Alpha-CIR Model with Branching Processes in Sovereign Interest Rate Modelling

Ying Jiao, Chengcang Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、α-CIRモデルを導入し、スペクトラルに正のα安定Lévy過程を組み込むことで、金利の持続的低水準と、国債市場における大規模でクラスタリングされたジャンプを同時に捉える、洗練されたCIRモデルの拡張を提示する。α-ルート分散構造により分岐性質を保ったまま、閉形式の債券価格評価が可能となり、重たい尾部のジャンプダイナミクスと自己駆動的挙動を正確に記述する。

ABSTRACT

We introduce a class of interest rate models, called the $\\alpha$-CIR model, which gives a natural extension of the standard CIR model by adopting the $\\alpha$-stable L{\\'e}vy process and preserving the branching property. This model allows to describe in a unified and parsimonious way several recent observations on the sovereign bond market such as the persistency of low interest rate together with the presence of large jumps at local extent. We emphasize on a general integral representation of the model by using random fields, with which we establish the link to the CBI processes and the affine models. Finally we analyze the jump behaviors and in particular the large jumps, and we provide numerical illustrations.

研究の動機と目的

• 固定利付市場における主要な経験的パズルである、持続的な低金利と大規模でクラスタリングされたジャンプの共存を説明すること。
• 古典的CIRモデルを拡張し、α安定Lévy過程を組み込むと同時に、解析的取り扱いの容易さを保つために分岐性質を維持すること。
• 金利ダイナミクスにおける小規模なボラティリティと極端なジャンプリスクの両方を捉える、統一的かつ低次元のフレームワークを提供すること。
• CBIおよびアフィン過程との関連を示すために、確率的場の積分表現を用いて、数学的基盤を厳密に構築すること。
• 債券価格および最初の大規模ジャンプの分布に対する明示的表現を導出し、実用的なキャリブレーションとリスク分析を可能にすること。

提案手法

• α-CIRモデルは、CIR過程におけるブラウン運動を、スペクトラルに正のα安定Lévy過程に置き換えることで拡張され、α ∈ (1,2] により無限活動のジャンプと重たいインクリメントを可能にする。
• 分岐性質を保つために、分散項に金利過程のα乗根を用いる。これにより、連続状態分岐過程としての性質が保たれる。
• 解の特徴づけに確率的場の積分表現を導入し、CBI過程およびアフィンモデルとの接続を可能にする。
• パrameter a（平均回帰速度）、b（長期平均）、σ（拡散ボラティリティ）、σZ（α安定ジャンプボラティリティ）を用いてモデルをキャリブレーションし、初期金利をr₀とする。
• すべてのα ∈ (1,2] に対して有効なモーメント母関数およびラプラス変換を用いて、債券価格の閉形式表現を導出する。
• 最初の大規模ジャンプ時刻τȳは、パスワイズおよびモーメントベースの技術を用いて、生存確率ℙ(τȳ > t)とその期待値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプルな金利モデルが、どのようにして国債市場で観察される金利の持続的低水準と、大規模でクラスタリングされたジャンプを同時に捉えることができるか？
• RQ2 α < 2 のα安定Lévy過程を組み込むことで、CIRモデルの実証的収益曲線データへの適合性がどの程度向上するか、特に低金利環境下において。
• RQ3 α安定ジャンプが最初の大規模ジャンプ時刻の分布に与える影響は何か？また、安定性指数αに応じてその影響はどのように変化するか？
• RQ4 重たい尾部の自己駆動的ジャンプダイナミクスを組み込んでも、α-CIRモデルがアフィン構造と閉形式の債券価格評価を維持できるか？
• RQ5 分岐性質はα-CIRモデルにおいてどのように現れるか？また、金利リスクの階層的分解にどのような意味を持つのか？

主な発見

• α-CIRモデルにおける債券価格はαが小さくなるにつれて低下し、これは重たい尾部のジャンプダイナミクスが低い期待金利をもたらすことを示唆する。これは直感に反するが、経験的事実と整合的である。
• α < 2 の場合、最初の大規模ジャンプまでの期待時間（τȳ）は顕著に短縮され、ジャンプの尾部が重いほど、大規模ジャンプが早期に発生する可能性が高くなる。
• 生存確率ℙ(τȳ > t)は、αが小さいほど急速にゼロに収束する。これは、重たい尾部のジャンプが、より早期かつ頻繁に極端な変動を引き起こすことを確認する。
• モデルは自己駆動的挙動を示す：金利水準が高くなるとジャンプ強度が上昇し、国債リスクイベントにおける観察されたクラスタリングと整合する。
• ジャンプの導入にもかかわらず、債券価格および最初の大規模ジャンプ分布の閉形式表現を維持しており、効率的なキャリブレーションとリスク測定が可能である。
• 数値的例示により、αの値が小さいほど、長期にわたる低金利期間に突如として大規模な上昇ジャンプが発生する様子が再現され、ギリシャ国債危機のダイナミクスと一致することが確認された。