[論文レビュー] $\alpha$-type Hochschild cohomology of Hom-associative algebras and Hom-bialgebras

Benedikt Hurle, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、乗法と構造写像 α の両方の変形を組み込む、乗法的ホム代数的結合的代数およびホムバイ代数に対して、α型ホッホシュילדコホモロジーと呼ばれる新しいコホモロジー理論を導入する。この理論は、古典的ホッホシュルドコホモロジーおよびゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーを一般化し、α が固定されていないホム代数における変形理論の統一的枠組みを提供する。主な貢献は、α によるねじれを伴う代数的および余代数的構造の変形を支配する双複体構造である。

ABSTRACT

In this paper we define a new cohomology for multiplicative Hom-associative algebras, which generalize Hochschild cohomology and fits with deformations of Hom-associative algebras including the structure map $\alpha$. It is a generalization of the known Hochschild-type cohomology for Hom-associative algebras defined by Amar, Ejbehi and Makhlouf. Moreover, we provide various observations and similarly a new cohomology of Hom-bialgebras extending the Gerstenhaber-Schack cohomology for Hom-bialgebras given by Dekkar and Makhlouf.

研究の動機と目的

• ホム代数的結合的代数における乗法と構造写像 α の両方の変形を捉えるコホモロジー理論の構築。
• 複体における α の役割を組み込むことで、ホム代数の既存のホッホシュルド型コホモロジーを一般化すること。
• ゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーを一般化するように、ホムバイ代数へコホモロジー枠組みを拡張すること。
• α が固定でないホム代数的結合的代数における変形理論を確立すること。
• ホムバイ代数に対して、乗法と余乗法の両方の変形を α によるねじれの下で符号化する双複体構造を提供すること。

提案手法

• α を含む写像のペアを用いて、乗法的ホム代数的結合的代数の新しいコホモロジー複体を定義し、古典的ホッホシュルドチェインの一般化とする。
• µ および α 構造のコチェーン (ϕ, ψ, χ, ξ) の次数 (i,j) に対して、微分作用素 ∂µµ, ∂µα, ∂αα, ∂αµ を持つ双複体を構成する。
• α が可逆である場合に、Yau のねじれ構成を用いて α 型コホモロジーと古典的コホモロジーを関連付ける。
• コホモロジー複体に L∞ 構造を確立し、高次ホモトピー関係を符号化する。
• µ∆, α∆, α∆, αβ, および µβ 成分を含む五項複体を用いて、ホムバイ代数に対するゲルステンハーバー＝シュック型コホモロジーを定義する。
• テンソル積および α によるねじれモジュール構造を用いて微分作用素の二重作用が 0 に等しいことを確認し、複体が適切に定義されていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム代数的結合的代数におけるホッホシュルドコホモロジーは、構造写像 α の変形を含めるようにどのように一般化できるか？
• RQ2 新しい α 型コホモロジーと AEM11 における既存のホッホシュルド型コホモロジーとの関係は何か？
• RQ3 Yau のねじれ構成において、特に α が可逆である場合に α 型コホモロジーはどのように振る舞うか？
• RQ4 この新しいコホモロジーが、α の変化を含めてホム代数的結合的代数の変形理論を完全に支配できるか？
• RQ5 ホムバイ代数に対するゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーは、どのように α によるねじれ構造を含めるように拡張できるか？

主な発見

• α 型ホッホシュルドコホモロジー複体は、∂µµ, ∂µα, ∂αα, ∂αµ を持つ双複体として定義され、∂² = 0 を満たすため、有効なコホモロジー理論であることが保証される。
• α = id のとき、α 型コホモロジーは古典的ホッホシュルドコホモロジーに還元され、α が可逆である場合には Yau のねじれにより AEM11 コホモロジーと関連づけられる。
• ホム代数的結合的代数では、乗法と α の両方が変形される変形は α 型コホモロジーによって支配され、1次変形は H¹ によって制御される。
• コホモロジーは L∞ 構造を備えており、代数的構造と整合する高次ホモトピー作用素を示している。
• α = β であるホムバイ代数に対して、制約 ψi,j = χi−1,j+1 および ξi,j = 0 を満たす全複体の部分複体が特定され、微分作用素のもとで保存される。
• ホムバイ代数の結果となるコホモロジー複体は、CGSi = ⊕_{j=1}^{i-1} Hj,i−j ⊕ ⊕_{j=1}^{i−2} Hj,i−j−1 で与えられ、明示的な微分作用素 ∂µµ, ∂µα, ∂αα, ∂αµ およびその双対が含まれる。