[論文レビュー] Alternating subgroups of Coxeter groups

Francesco Brenti, Victor Reiner+1 more|ArXiv.org|Feb 7, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定された生成元 $s_0$ を用いて $r_i = s_0s_i$ で生成されるボルバキの提示に基づき、コクセター群 $W$ の交代部分群 $W^+$ の組合せ的構造を調査する。主な貢献は、$s_0$ が偶数のリーフ（つまり、偶数にラベリングされ、コクセター図において葉である）場合に $W^+$ を完全に特徴づけることである。この場合、$W^+$ はほぼコクセター系を持つコクセター群 $W'$ と密接に関係しており、長さ、降下集合、弱順序および強順序といったすべての組合せ的不変量を $W'$ から $W^+$ に移すことが可能になる。これにより、タイプ $B_n$、$ ilde{B}_n$、$C_n$、$ ilde{C}_n$ における $W^+$ の研究に一様な枠組みが提供される。

ABSTRACT

We study combinatorial properties of the alternating subgroup of a Coxeter group, using a presentation of it due to Bourbaki.

研究の動機と目的

• コクセター群 $W$ の交代部分群 $W^+$ の組合せ的性質、特にその構造と不変量を理解すること。
• 特徴的な生成元 $s_0 \in S$ の選択が $W^+$ の提示および組合せ論的性質に与える影響を分析すること。
• $s_0$ が偶数のリーフ（偶数にラベリングされ、リーフである）である場合に、$W^+$ と非パラボリックな鏡映部分群 $W'$ 間の深い関係を解明すること。
• $W^+$ の不変量（長さ、降下集合、弱順序および強順序）の研究を、$W'$ を通じて標準的なコクセター群の枠組みに還元すること。

提案手法

• 生成元 $r_i = s_0s_i$（$i = 1,\dots,n$）を用いたボルバキの $W^+$ の提示を使用し、関係式 $r_i^{m_{0i}} = (r_i^{-1}r_j)^{m_{ij}} = e$ を満たす。
• $W^+$ 内のパルンドーム（回文）の概念を導入し、標準的なコクセター群における鏡映の類似物として扱う。
• 生成集合 $R \cup R^{-1}$ を用いて $W^+$ 上に弱順序および強順序の部分順序を定義し、コクセター群における弱順序の一般化を行う。
• 偶数のリーフ $s_0$ の場合、$W'$ が $W$ の鏡映部分群であるようなほぼコクセター系 $(W', S')$ を構成する。
• $W^+$ と $W'$ 間に長さ、降下集合、部分順序を保つ双対写像を確立し、組合せ的データの移譲を可能にする。
• 具体的な例（例えば $B_3$）に理論を適用し、縮約語および降下集合の表を通じて $W^+$ と $W'$ 間の対応を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成元 $s_0$ の選択が、交代部分群 $W^+$ の提示および組合せ論的性質にどのように影響を与えるか。
• RQ2 $s_0$ が偶数にラベリングされたり、リーフである場合に、$W^+$ の構造的および順序論的性質（例えば弱順序および強順序）はどのようなものか。
• RQ3 $W^+$ の組合せ的不変量（長さ、降下集合、縮約語など）を、標準的なコクセター群の不変量に還元できるか。
• RQ4 $W^+$ と、$s_0$ を $-1$、他のすべての生成元を $+1$ に送る準同型の核 $W'$ 間の正確な関係は何か。
• RQ5 $W^+$ がほぼコクセター系を持つのはどのような条件下か。また、$W^+$ がコクセター群と同型となるのはいつか。

主な発見

• $s_0$ が偶数のリーフである場合、$W^+$ は $W'$ に同型ではないが、長さを保ち、降下集合および弱／強順序を保存する $W^+$ と $W'$ 間の双対写像が存在する。
• $W'$ は $W$ の非パラボリックな鏡映部分群であり、元の $(W, S)$ に密接に関連したコクセター系 $(W', S')$ を持つ。
• 偶数のリーフの場合、$W^+$ のすべての元は、強い交換性を満たすパルンドームへの一意的な因子分解を持つため、弱順序および強順序の完全な特徴づけが可能になる。
• $W$ がタイプ $B_n$、$ ilde{B}_n$、$C_n$、$ ilde{C}_n$ のいずれかである場合、$s_0$ を偶数のリーフとして選ぶと、$W^+$ はほぼコクセター系を持つようになり、$W'$ はタイプ $D_n$ または $A_{n-1}$ となる。
• $W^+$ のペオンカーレ・シリーズは、特に偶数にラベリングされ、偶数のリーフの場合、長さおよび降下集合の統計に関する生成関数を用いて計算可能である。
• $B_3$ の例では、$W^+$ と $W'$ の間の縮約語および降下集合の表から、双対写像が確認できる：対応する要素について $\ell_{R\cup R^{-1}}(w) = \ell_{S'}(w')$ および $\widehat{\rm{Nasc}}_R(w) = \widehat{\rm{Des}}_R(w)$ が成り立つ。